Ta có:

50! - 40! = 40!(41.42.43.44.45.46.47.48.49.50 - 1)

Mà 40! = 40.39.38.37...2.1 nên 40! chia hết cho 37

Suy ra 50! - 40! chia hết cho 37

a) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) 

vì n, n-1, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\\ \Rightarrow\left(n^3-n\right)⋮3\)

b) \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\\ =n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\\ =\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\\ =\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Vì n-2, n-1, n, n+1, n+2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 5 ⇒ (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)⋮5

5⋮5⇒5(n-1)n(n+1)⋮5

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow n^5-n⋮5\)

a: Ta có: \(\left(n^3-n\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)

Chứng minh:10⁵⁰-1 chia hết cho 3

Ta có:

10⁵⁰=10.10....10 (có 50 số 10)=1000...000(50 số 0)

1000000....0000 - 1=  9999..99(có 49 số 9)

9999....999 có tổng các chữ số bằng 441 mà 441 chia hết cho 3

Vậy 10⁵⁰-1 chia hết cho 3

Ta có :10⁵⁰ = 10000..000 (50 c/s 0 )

Nếu lấy số đó -1 ta sẽ được số :999999999999999999999999 (50 c/s 9)

=> nó chắc chắn chia hết cho 3.