Ta có : 

\(A+B=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\)

\(=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+2\sqrt{ab}\)

\(=\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-3\sqrt{ab}\right]+2\sqrt{ab}\)

\(A.B=\sqrt{ab}\left(\sqrt{ab+1}\right)+\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-3\sqrt{ab}\right]\)

Đặt \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=x;\)\(\sqrt{ab}=y\)\(\left(x;y\in Q\right)\)thì :

\(A+B=x\left(x^2-3y\right)+2y\)

\(A.B=y\left(y+1\right)+xy\left(x^2-3y\right)\)

\(\Rightarrow\)Các đa thức này là các số hữa tỉ  \(\left(đpcm\right)\)

mik làm ở trên rồi

nha: 0 11

Câu hỏi của ka ding - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath Em xem lbaif ở link này nhé!

Lời giải:

Ta có:
\(A+B=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\)

\(=(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3+2\sqrt{ab}\)

\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)+2\sqrt{ab}\)

\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]+2\sqrt{ab}\)

Ta thấy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\in\mathbb{Q}; \sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\) nên:

\((\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]\in\mathbb{Q}\) và \(2\sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\)

Do đó: \(A+B\in\mathbb{Q}\)

Mặt khác:

\(AB=\sqrt{a}(a+\sqrt{b}).\sqrt{b}(b+\sqrt{a})\)

\(=\sqrt{ab}(a+\sqrt{b})(b+\sqrt{a})\)

\(=\sqrt{ab}(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab})\)

\(=\sqrt{ab}(A+B)\)

Do $A+B$ là số hữu tỉ (cmt) và $\sqrt{ab}$ cũng là số hữu tỉ, nên \(AB\) là số hữu tỉ.

Bác Akai Haruma làm nhầm đoạn cuối. Chắc do học nhiều nên mệt. Mình đại diện các bạn khác tiếp sức cho bác.

\(AB=\sqrt{ab}\left(a+\sqrt{b}\right)\left(b+\sqrt{a}\right)\)

\(=\sqrt{ab}\left(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)

\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)

\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+A+B\right)\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}A+B\in Q\\\sqrt{ab}\in Q\\ab\in Q\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB\in Q\)

Mình sửa lại đề chút nhé :

CMR : nếu \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) và \(\sqrt{ab}\) đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ.

Akai Haruma Lightning Farron......