Với các số dương a,b,c,d sao cho\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}=1.\)CM: abcd nhỏ hơn hoặc bằng 1/81
Những câu hỏi liên quan
cho a;b;c;d là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\le1\)CMR:\(abcd\le\frac{1}{81}\)
Ẹt số xui đưa link cũng bị duyệt
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{d+1}=1-\frac{d}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\). TƯơng tự cho 3 BĐT còn lại
\(\frac{1}{a+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
Nhân theo vế 4 BDT trên ta có:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\right)^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
Hay ta có ĐPCM
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số dương a,b,c,d. CMR: \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{4}{c}\)+\(\frac{16}{d}\)luôn lớn hơn hoặc bằng \(\frac{64}{a+b+c+d}\)
có thể áp dụng luôn công thức tổng quát của btp nhé
Tổng quát \(\frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+...+\frac{a_n^2}{x_n}\ge\frac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{x_1+x_2+...+x_n}\)(với x1,x2,...xn >0 )
phải c/m nhé
Đúng 0
Bình luận (0)
BTP :\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(với mọi abxy, x,y>0) đây còn đc cọi bđt cauchy schwarz )
c/m k có gì khó. nhân chéo quy đồng ( tự c/m nhé )
Đặt \(A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\)
Áp dụng liên tục btp ta được \(A\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}+\frac{4^2}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}\)(dpcm)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c/2=d/4
Đúng 0
Bình luận (0)
cho số thực dương a,b,c,d. chứng minh:
\(\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}+\frac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}+\frac{1}{a^4+c^4+d^4+abcd}+\frac{1}{a^4+b^4+d^4+abcd}\le\frac{1}{abcd}\)
Ta chứng minh bất đẳng thức sau
Với x, y, z > 0 ta luôn có \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\) (1)
Theo BĐT Cô-si
\(x^4+x^4+y^4+z^4\ge4\sqrt[4]{x^8y^4z^4}=4x^2yz\)
\(y^4+y^4+z^4+x^4\ge4\sqrt[4]{y^8z^4x^4}=4y^2zx\)
\(z^4+z^4+x^4+y^4\ge4\sqrt[4]{z^8x^4y^4}=4z^2xy\)
Cộng vế theo vế ta được: \(4\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge4\left(x^2yz+y^2zx+z^2xy\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
Vậy (1) đc c/m
Bất đẳng thức cần c/m có thể viết lại thành
\(\frac{abcd}{a^4+b^4+c^4+abcd}+\frac{abcd}{b^4+c^4+d^4+abcd}+\frac{abcd}{c^4+d^4+a^4+abcd}+\frac{abcd}{d^4+a^4+b^4+abcd}\le1\)
Áp dụng (1) ta có
\(\frac{abcd}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{abcd}{abc\left(a+b+c\right)+abcd}=\frac{abcd}{abc\left(a+b+c+d\right)}=\frac{d}{a+b+c+d}\)
Tương tự
\(\frac{abcd}{b^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{abcd}{c^4+d^4+a^4+abcd}\le\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{abcd}{d^4+a^4+b^4+abcd}\le\frac{c}{a+b+c+d}\)
Cộng theo vế suy ra đpcm.
Đúng 1
Bình luận (0)
cho a, b, c, d là các số dương có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của M=\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\)
Bài 1: Cho a,b,c là số nguyên dương. Chứng tỏ s không là số tự nhiên :
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)
Bài 2 : Tìm các số tự nhiên a,b,c sao cho:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1\)
Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)nhỏ hơn hoặc bằng 3
Chứng minh rằng \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)lớn hơn hoặc bằng 3
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\)
\(1+b^2\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)
Do đó: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\)
Mặt khác ta có: \(3\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\le1\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Do đó; \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\ge3\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c,d>0 bt \(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\)<=1 CMR\(abcd\le\frac{1}{81}\)
Từ giả thiết => \(\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương : \(\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\). Tương tự: \(\frac{1}{b+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{c+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{d+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Nhân từ 4 bđt: \(1\ge81abcd\Rightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)
Cho a, b, c, d dương. CM:
1) frac{a^2}{b^5}+frac{b^2}{c^5}+frac{c^2}{d^5}+frac{d^2}{a^5}gefrac{1}{a^3}+frac{1}{b^3}+frac{1}{c^3}+frac{1}{d^3}
2) frac{a}{b}+frac{b}{c}+frac{c}{a}gefrac{a+b+c}{sqrt[3]{abc}}
3) frac{a^2}{b^2}+frac{b^2}{c^2}+frac{c^2}{d^2}+frac{d^2}{a^2}gefrac{a+b+c+d}{sqrt[4]{abcd}}
4) frac{1}{a^2+2bc}+frac{1}{b^2+2ac}+frac{1}{c^2+2ab}ge9;a+b+cle1
Đọc tiếp
Cho a, b, c, d dương. CM:
1) \(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\ge\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\)
2) \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\)
3) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}\)
4) \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9;a+b+c\le1\)
Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.
4)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
2/ Cô: \(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.b.c}}=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{abc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:
\(3.VT\ge3.VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(Đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a , b , c , d > 0 Biết \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1\)
Chứng minh rằng: \(abcd\le\frac{1}{81}\)
Ta có: \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\le1-\frac{d}{d+1}=\frac{1}{d+1}\\\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{b}{b+1}=\frac{1}{b+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{c+1}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{1}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\\\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{b+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{c+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\end{matrix}\right.\)
Nhân từng vế:
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3d^3}{\left(a+1\right)^3\left(b+1\right)^3\left(c+1\right)^3}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
\(\Rightarrow1\ge81abcd\)
Vậy \(abcd\le\frac{1}{81}\left(đpcm\right)\)
p/s : lí do tớ tự trả lời câu hỏi của mình là để coi câu trả lời của mình có đúng hay ko thôi nha , mong các bạn đứng có hiểu lầm , nếu bạn nào có cách nào nhanh và gọn hơn thì phiền các bạn chỉ dùm luôn nha.
Đúng 0
Bình luận (2)