Xét tứ giác AEID có

\(\widehat{AEI}+\widehat{ADI}+\widehat{EAD}+\widehat{EID}=360^0\)

=>\(\widehat{EAD}+\widehat{EID}+90^0+90^0=360^0\)

=>\(\widehat{EAD}+\widehat{EID}=360^0-180^0=180^0\)

mà \(\widehat{EID}=\widehat{BIC}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{EAD}+\widehat{BIC}=180^0\)

=>góc BIC bù với góc BAC

Bài 1:

Cách 1: Do điểm I nằm trong tam giác ABC nên: IBC<ABC và ICB<ACB

Cộng vế theo vế của chúng ta suy ra ABC+ACB>IBC+ICB

Do đó: 180-(ABC+ACB)<180-(IBC+ICB)

Tức là BAC<BIC và cũng là điều phải chứng minh

Cách 2:

Gọi D là giao điểm của BI với AC

Do BIC là góc ngoài của tam giác ICD nên BIC>BDC

Đồng thời BDC cũng là góc ngoài của tam giác ABD nên BDC >BAC

Do vậy BIC>BAC cũng là điều phải chứng minh

Bài 2

a)

Do BIC=180-IBC-ICB=180-1/2(B+C)=90+A nên BIC luôn lớn hơn 90 

Mà BIC+CID=180=>CID=180-BIC<180-90=90

Thế nên CID là góc nhọn

b)

Từ giả thiết góc DIC=60 ta suy ra BIC=120=>IBC+ICB=60=>1/2(B+C)=60

Ta có:BEC+BDC=180-B-1/2C+180-C-1/2B

                           =360-(B+C)-1/2(B+C)

                           =360-120-60=180

Do vậy 2 góc BEC và BDC bù nhau

Qua F kẻ FO vg vs EC ( O thuộc EC).gọi G là giao điểm của BD và EF.

ta có: ^BAC+^ABC+^ACB=180(t/c tổng 3 góc trong tg)=> ^ABC+^ACB=120(vì ^BAC =60)

                              => 2.^DBC+2.^ECB=120(vì BC là pg của ^B và CE là pg của ^C)=> ^DBC+^CEB=60 hay ^IBC+^ICB=60

xét tg IBC có:  ^IBC+^ICB+^BIC=180(t/c tổng 3 góc trong tg) => ^BIC=120(vì ^IBC+^ICB=60) hay ^GIO=120

xét tg GFOI có: ^IGF+^GFO+^FOI+^OIG=360( t/c tổng các góc trong tg)

=> ^GFO=60(vì ^GIO=120; ^IGF=90; ^FOI=90)=> ^OEF=90-60=30 độ

xét tg OEF vuông tai O(cách vẽ) có: OF đối diên vs ^OEF, mà ^OEF=30 độ nên OF=1/2.EF

Mặt khác : GF=1/2.EF(tự c/m) nên OF=GF

Ta có:   F nằm trong ^ BIC ; FG vg vs BI và FO vg vs IC (cách vẽ) ; OF=OG(cmt)

=> IF là tia pg của ^BIC( t/c của tia pg)

câu b bám vào câu a để làm. chỉ cần c/m IC là đg trung trwch của DF là đc

cho mình hỏi, bạn làm cái j mà cứ góc G lại chạy sang góc E thế. mình ko hiểu ??

Dễ dàng thấy được \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\) và \(\widehat{ACB}=\widehat{AED}\) (vì với mỗi cặp thì hai góc của cặp đó là hai góc so le trong)

Vì \(\widehat{ADE}\) và \(\widehat{BDE}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat{ADE}+\widehat{BDE}=180^o\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\) nên \(\widehat{ABC}+\widehat{BDE}=180^o\), suy ra \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{BDE}\) là hai góc bù nhau.

Suy luận tương tự như trên, ta được \(\widehat{ACB}\) và \(\widehat{CED}\) là hai góc bù nhau.

Nhận xét: AD, BE và CF là các đường cao, chúng đồng quy tại một điểm.