Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Bùi Văn Duy
Xem chi tiết

=\(\frac{1.2.3...30.31}{2\left(2.3.4...31\right).64}=\frac{1}{128}\)

Lê Tài Bảo Châu
Xem chi tiết
Kiệt Nguyễn
25 tháng 10 2020 lúc 15:46

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{​​}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))

Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

Khách vãng lai đã xóa
Kiệt Nguyễn
26 tháng 10 2020 lúc 11:44

Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)

Khi đó  \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)

Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)

Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)

Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)

Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)

Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))

Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1

Khách vãng lai đã xóa
Hà Gia Khang
25 tháng 4 2023 lúc 9:30

3. Áp dụng cô si ta có 

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\)

Lại có:

 \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

⇒ P ≥ \(2020.1+1=2021\)

Vậy Pmin = 2021 khi và chỉ khi a = b = c =1/3

Nguyễn Hương Giang
Xem chi tiết
Dương Tiến	Khánh
Xem chi tiết
Nguyễn Huy Tú
11 tháng 2 2022 lúc 21:38

Theo tc dãy tỉ số bằng nhau 

\(\frac{a-6b}{3c}=\frac{2b-9c}{a}=\frac{3c-3a}{2b}=\frac{a+2b+3c-6b-9c-3a}{3c+a+2b}\)

\(=\frac{a+2b+3a-3\left(2b+3c+a\right)}{3c+a+2b}=\frac{-2.72}{72}=-2\)

\(\Rightarrow a-6b=-6c;3c-3a=-4b\Leftrightarrow3a-4b=3c\)

ta có hệ \(\hept{\begin{cases}a-6b=-6c\\3a-4b=3c\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a-18b=-18c\\3a-4b=3c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-14b=-21c\left(1\right)\\a=-6c+6b\left(2\right)\end{cases}}}\)

Theo giả thiết \(a+2b+3c=72\Rightarrow a=-2b-3c-72\)

\(\Rightarrow-2b-3c-72=-6c+6b\Leftrightarrow8b-3c+72=0\Leftrightarrow8b-3c=-72\)

(1) => \(\frac{b}{-21}=\frac{c}{-14}\)Theo tc dãy tỉ số bằng nhau 

\(\frac{b}{-21}=\frac{c}{-14}=\frac{8b-3c}{8\left(-21\right)-3\left(-14\right)}=-\frac{72}{-126}=\frac{4}{7}\Rightarrow b=-12;c=-8\)

Thay vào (2) vậy \(a=-6c+6b=-6\left(-8\right)+6\left(-12\right)=48-72=-24\)

Khách vãng lai đã xóa
lion messi
Xem chi tiết
Nhật Hạ
18 tháng 3 2020 lúc 17:09

a, Đặt \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k\)\(\Rightarrow a=2k\)\(b=3k\)\(c=5k\)

Ta có: \(B=\frac{a+7b-2c}{3a+2b-c}=\frac{2k+7.3k-2.5k}{3.2k+2.3k-5k}=\frac{2k+21k-10k}{6k+6k-5k}=\frac{13k}{7k}=\frac{13}{7}\)

b, Ta có: \(\frac{1}{2a-1}=\frac{2}{3b-1}=\frac{3}{4c-1}\)\(\Rightarrow\frac{2a-1}{1}=\frac{3b-1}{2}=\frac{4c-1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{2\left(a-\frac{1}{2}\right)}{1}=\frac{3\left(b-\frac{1}{3}\right)}{2}=\frac{4\left(c-\frac{1}{4}\right)}{3}\) \(\Rightarrow\frac{2\left(a-\frac{1}{2}\right)}{12}=\frac{3\left(b-\frac{1}{3}\right)}{2.12}=\frac{4\left(c-\frac{1}{4}\right)}{3.12}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a-\frac{1}{2}\right)}{6}=\frac{\left(b-\frac{1}{3}\right)}{8}=\frac{\left(c-\frac{1}{4}\right)}{9}\)\(\Rightarrow\frac{3\left(a-\frac{1}{2}\right)}{18}=\frac{2\left(b-\frac{1}{3}\right)}{16}=\frac{\left(c-\frac{1}{4}\right)}{9}\)

\(\Rightarrow\frac{3a-\frac{3}{2}}{18}=\frac{2b-\frac{2}{3}}{16}=\frac{c-\frac{1}{4}}{9}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{3a-\frac{3}{2}}{18}=\frac{2b-\frac{2}{3}}{16}=\frac{c-\frac{1}{4}}{9}=\frac{3a-\frac{3}{2}+2b-\frac{2}{3}-\left(c-\frac{1}{4}\right)}{18+16-9}=\frac{3a-\frac{3}{2}+2b-\frac{2}{3}-c+\frac{1}{4}}{25}\)

\(=\frac{\left(3a+2b-c\right)-\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right)}{25}=\left(4-\frac{23}{12}\right)\div25=\frac{25}{12}\times\frac{1}{25}=\frac{1}{12}\)

Do đó:  +)  \(\frac{a-\frac{1}{2}}{6}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow a-\frac{1}{2}=\frac{6}{12}\)\(\Rightarrow a=1\)

+) \(\frac{b-\frac{1}{3}}{8}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow b-\frac{1}{3}=\frac{8}{12}\)\(\Rightarrow b=1\)

+) \(\frac{c-\frac{1}{4}}{9}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow c-\frac{1}{4}=\frac{9}{12}\)\(\Rightarrow c=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Băng Băng
Xem chi tiết
Khanh Vu
Xem chi tiết
Trần Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết
nơi bóng ma ghé qua
Xem chi tiết
zZz Cool Kid_new zZz
7 tháng 8 2020 lúc 15:10

\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{2+a^2b}+\frac{2}{2+b^2c}+\frac{2}{2+c^2a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\le3\)

\(\frac{a^2b}{2+a^2b}\le\frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}=\frac{\sqrt[3]{a^4b^2}}{3}=\frac{a\sqrt[3]{ab^2}}{3}\)

Tương tự thì ta cần chứng minh \(a\sqrt[3]{ab^2}+b\sqrt[3]{bc^2}+c\sqrt[3]{ca^2}\le6\)

Oke phần còn lại dành cho bạn ;D

Khách vãng lai đã xóa
tth_new
8 tháng 8 2020 lúc 14:13

Khúc cuối nhầm kìa bác Coolkid

\(a\sqrt[3]{ab^2}+b\sqrt[3]{bc^2}+c\sqrt[3]{ca^3}\le3\)

Khách vãng lai đã xóa