Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

a: ΔACB cân tại A

mà AD là trung tuyến

nên AD vuông góc BC

Xét tứ giác BGCE có

D là trung điểm chung của BC và GE

BC vuông góc GE

=>BGCE là hình thoi

=>BG=GC=CE=BE

b: Xét ΔABE và ΔACE có

AB=AC

BE=CE

AE chung

=>ΔABE=ΔACE

 a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của CB

=>CB=2CH

mà CB=CE

nên CE=2CH

=>\(\dfrac{EC}{EH}=\dfrac{2}{3}\)

Xét ΔEAD có

EH là đường trung tuyến

\(EC=\dfrac{2}{3}EH\)

Do đó: C là trọng tâm của ΔEAD

b: Xét ΔEAD có

C là trọng tâm

AC cắt DE tại M

Do đó: M là trung điểm của DE

Xét ΔEAD có

H,M lần lượt là trung điểm của DA,DE

=>HM là đường trung bình của ΔEAD

=>HM//AE

c: Để HM\(\perp\)AB thì AE\(\perp\)AB

=>ΔABE vuông tại A

Ta có: ΔABE vuông tại A

mà AC là đường trung tuyến

nên AC=CB=CE

=>AC=CB

mà AB=AC

nên AC=AB=BC

=>ΔABC đều

=>\(\widehat{ABC}=60^0\)

Khi ΔABC đều thì \(\widehat{HAC}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

Ta có: \(\widehat{ACE}+\widehat{ACB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(\widehat{ACE}+60^0=180^0\)

=>\(\widehat{ACE}=120^0\)

Ta có: CA=CE

=>ΔCAE cân tại C

=>\(\widehat{CAE}=\widehat{CEA}=\dfrac{180^0-\widehat{ACE}}{2}=30^0\)

\(\widehat{HAE}=\widehat{HAC}+\widehat{CAE}=30^0+30^0=60^0\)

Xét ΔEAD có

EH là đường cao

EH là đường trung tuyến

Do đó: ΔEAD cân tại E

mà \(\widehat{EAD}=60^0\)

nên ΔEAD đều

Ta có: ΔABC đều

mà AH là đường cao

nên \(AH=AB\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\)

H là trung điểm của AD

=>\(AD=2\cdot AH=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

ΔADE đều

mà AM là đường trung tuyến

nên AM\(\perp\)DE
=>ΔAMD vuông tại M

Xét ΔAMD vuông tại M có \(cosDAM=\dfrac{AM}{AD}\)

=>\(\dfrac{AM}{3\sqrt{3}}=cos30=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(AM=4,5\left(cm\right)\)

cho mk một tk đi bà con ơi

ủng hộ mk đi làm ơn