\(\text{Đặt }\left(7n+10,5n+7\right)=d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(7n+10\right)⋮d\\\left(5n+7\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left[5\left(7n+10\right)\right]d\\\left[7\left(5n+7\right)\right]⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left[5\left(7n+10\right)-7\left(5n+7\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

\(\text{Vậy }\left(7n+10,5n+7\right)=1\)

a) Gọi d  = ƯCLN(7n + 10; 5n + 7) 

=> 7n + 10 chia hết cho d

5n + 7 chia hết cho d

=> 5.(7n + 10) chia hết cho d và 7.(5n + 7) chia hết cho d

Hay 35n + 50 chia hết cho d và 35n + 49 chia hết cho d

=> 35n + 50 - (35n + 49) = 1 chia hết cho d

=> d = 1 

Vậy ...

b) Gọi d = ƯCLN(2n + 3; 4n + 8) 

=> 2n + 3 chia hết cho d; 4n + 8 chia hết cho d

=> 2.(2n+3) chia hết cho d ; 4n + 8 chia hết cho d

Hay 4n + 6 chia hết cho d và 4n + 8 chia hết cho d

=> 4n + 8 - (4n + 6) = 2 chia hết cho d 

=> d = 1 hoặc d = 2

Vì 2n + 3 lẻ nên 2n + 3 không chia hết cho 2 => d khác 2

Nên d = 1

Vậy ...

a) Gọi d là ƯC( 7n + 10 ; 5n + 7 ) 

=> \(\hept{\begin{cases}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(7n+10\right)⋮d\\7\left(5n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}35n+50⋮d\\35n+49⋮d\end{cases}}\)

=> ( 35n + 50 ) - ( 35n + 49 ) chia hết cho d

=> 35n + 50 - 35n - 49 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> ƯCLN( 7n + 10 ; 5n + 7 ) = 1

=> 7n + 10 ; 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

b) Gọi d là ƯC( 2n + 3 ; 4n + 8 )

=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)

=> ( 4n + 8 ) - ( 4n + 6 ) chia hết cho d

=> 4n + 8 - 4n - 6 chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d ∈ { 1 ; 2 }

Với d = 2 => \(2n+3⋮̸̸d\)

=> d = 1

=> ƯCLN( 2n + 3 ; 4n + 8 ) = 1

=> 2n + 3 ; 4n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

a) Gọi 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp là 2k+1 và 2k+3

Gọi ước chung lớn nhất của 2k+1 và 2k+3 là d

=> 2k+1 chia hết cho d; 2k+3 chia hết cho d

=> (2k+1 - 2k-3) chia hết cho d

=> -2 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(-2) => d thuộc {-2; -1; 1; 2}

mà d lớn nhất; số tự nhiên lẻ không chia hết cho 2 => d = 1

=> 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp là 2 số nguyên tố cùng nhau

b) Gọi ƯCLN(2n+5;3n+7) là d

=> 2n+5 chia hết cho d => 3(2n+5) chia hết cho d => 6n+15 chia hết cho d

3n+7 chia hết cho d => 2(3n+7) chia hết cho d => 6n+14 chia hết cho d

=> (6n+15-6n-14) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(1)

mà d lớn nhất => d = 1

=> 2n+5 và 3n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Câu 1: 

=>n(n+1)=1275

=>n^2+n-1275=0

=>\(n\in\varnothing\)

Câu 2:

a: Gọi d=ƯCLN(2n+1;3n+1)

=>6n+3-6n-2 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>ƯC(2n+1;3n+1)={1;-1}

b: Gọi d=ƯCLN(7n+10;5n+7)

=>35n+50-35n-49 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>7n+10 và 5n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau

goi ucln 2n+3va4n+3 la a

2n+3va4n+3 chia het cho a suy ra 8n+12 va 8n+6 chia het cho a

suy ra 2n+3 -( 4n+3) chia het cho a

suy ra a=1

vay ucln 2n+3 va 4n+3 la 1

Gọi số cần tìm là a, ta có:

2n+3 chia hết cho a và 4n+3 chia hết cho a

=> 4n+3-(2n+3) = 2n chia hết cho a

=>2n+3-2n chia hết cho a

=>3 chia hết cho a

=>\(a\inư\left(3\right)\)

mà a lớn nhất =>a=3

@phynit