\(cho\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)tính P=\(\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}\)
cho $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0,x,y,z\ne 0khido\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}=?$
Cho: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)(x,y,z khác 0). Tính \(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)
Cho 1/x+1/y+1/z+0(x,y,z#0).Tính: \(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)
Cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
Tính A =\(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
\(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{y^3z^3+x^3z^3+x^3y^3}{x^2y^2z^2}=\frac{\left(xy+yz+xz\right)\left(...\right)}{x^2y^2z^2}=0\)
cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\left(x,y,z\ne0\right).\)
Tính \(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)
Câu hỏi của Vũ Thảo Vy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath tham khảo
Cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0.\)
Tính \(P=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)
Vì 1/x + 1/y + 1/z = 0 nên lần lượt nhân vs x; y; z ta có:
1 + x/y + x/z = 0 (1)
1 + y/z + y/x = 0 (2)
1 + z/x + z/y = 0 (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra : x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y = - 3 (*)
Mặt khác : 1/x + 1/y + 1/z = 0 nên quy đồng lên ta có:
(xy + yz + zx)/xyz = 0 hay xy + yz + zx = 0
Hay : (1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2).(xy + yz + zx) = 0
khai triển ra :
yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2 + x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y = 0
Vậy : yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2 = - (x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y) = 3 (theo (*))
Đầu tiên cần chứng minh khẳng định sau : Nếu a + b + c = 0 thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Thật vậy : Xét \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-bc-ac\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Áp dụng khẳng định trên với \(a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\)được
\(P=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
Chú ý : Đề bài cần thêm điều kiện x,y,z khác 0
cho x,y,z là các số khác 0 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
tính giá trị của P = \(\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+xy}\)
Cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)\(Tính:\)
\(\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}\)
Dễ dàng chứng minh được : nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta có \(\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)( Vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\))
Cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
Tính \(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^3=\frac{-1}{z^3}\)
\(\frac{1}{x^3}+\frac{3}{x^2y}+\frac{3}{xy^2}+\frac{1}{y^3}=-\frac{1}{z^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{-3}{x^2y}-\frac{3}{xy^2}=\frac{-3}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{3}{xyz}\)
\(\Rightarrow xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=\frac{3}{xyz}.xyz\)
\(\Rightarrow\frac{yz}{x^2}+\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}=3\)
khi gấp lên mấy lần thì nó vẫn bằng 0 nên biểu thức đó bằng 0