a/ Xét t/g ABC có D,E lần lượt là trung điểm AB ; AC

=> DE là đường trung bình t/g ABC

=> DE // BC ; DE = BC/2

=> DE // BF ; DE = BF(do F là trung điểm BC)

=> Tứ giác BDEF là hình bình hành

b/ Có BDEF là hbh

=> EF = BD 

Xét t/g ABK vuông tại K có KD là đường trung tuyến

=> KD = 1/2 AB = BD=> EF = KD

Mà DE // BC

=> DE // KF

=> Tứ giác DEFK là htc

c/ Xét t/g AHC có ME là đường trung binh

=> ME = 1/2 HC ; ME // HC (1)

Xét t/g BHC có NF là đường trung bình

=> NF = 1/2 HC ; NF // HC (2)

(1) ; (2)

=> ME = NF ; ME // NF (3)

Xét t/g ABH có MN là đường trung bình

=> MN // AB ; MN = 1/2 ABMà

HC ⊥ AB

NF // HC=> MN ⊥ NF (4)(3) ; (4)

=> MNFE là hcn

=> NE = MF ; NE, MF cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

CMTT ta có đpcm

a: Xét ΔABC có AD/AB=AE/AC

nên DE//BC và DE=BC/2

=>DE//BF và DE=BF

=>BDEF là hình bình hành

b: Xét ΔBAC có BD/BA=BF/BC

nên DF//AC và DF=AC/2

=>DF=EK

Xét tứ giác DEFK cos

DE//FK

DF=EK

Do đó: DEFK là hình thang cân

a: Xét ΔABC có AD/AB=AE/AC

nên DE//BC và DE=1/2BC

=>DE//BF và DE=BF

=>BDEF là hình bình hành

b: Xét tứ giác AICM có

E là trung điểm chung của AC và IM

góc AIC=90 độ

Do đó; AICM là hình chữ nhật

Hình bạn tự vẽ nha.

a, \(\Delta ABC\)có: \(AD=DB\left(gt\right)\)

                            \(AE=EC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\)DE là đường trung bình của \(\Delta ABC\Rightarrow\hept{\begin{cases}DE//BC\\DE=\frac{1}{2}BC\end{cases}}\)

                                                               mà \(BF=\frac{1}{2}BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}DE//BF\\DE=BF\end{cases}}\)

Tứ giác BDEF có: \(\hept{\begin{cases}DE//BF\left(cmt\right)\\DE=BF\left(cmt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)BDEF là hình bình hành

b, Ta có: I đối xứng với J qua E \(\Rightarrow\)E là trung điểm của IJ

Tứ giác AICJ có 2 đường chéo AC và IJ cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường \(\Rightarrow\)AICJ là hình bình hành mà \(\widehat{AIC}=90^o\Rightarrow\)AICJ là hình chữ nhật

c, \(\Delta ABC\)có: \(AD=BD\left(gt\right)\)

                            \(BF=FC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\)DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\Rightarrow DF//AC\)

Tứ giác ADKE có \(DK//AE\left(cmt\right)\Rightarrow\)ADKE là hình thang

Tương tự ta có tứ giác KECF là hình thang

BDEF là hình bình hành \(\Rightarrow DK=KF=\frac{1}{2}DF\)

Ta có: \(S_{ADKE}=\frac{\left(DK+AE\right).KE}{2}\)

\(S_{KECF}=\frac{\left(KF+EC\right).KE}{2}\)

mà \(DK=KF,AE=EC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow S_{ADKE}=S_{KECF}\)

a) Vì E là trung điểm AC; D trung điểm AB (gt)

=> ED là đường tb của tam giác ABC

=> ED//CB;ED=1/2CB

Mà F là trung điểm BC (gt)=>FB=FC=1/2BC

Do đó: ED//FB;ED=1/2FB

Nên tứ giác BDEF là hbh (2 cạnh đối // và = nhau)

b) Nối H với D ta có:

Xét tam giác vuông ABC có DA=DB=1/2AB (D trung đ AB)

=> HD là đường trung tuyến của tam giác ABC (đg trung tuyến ứng vs cạnh huyền)

=>HD=1/2AB

Nên: HD=DB (1)

gọi I nằm giữa D và F

Vì AC//DF và DF=1/2 AC (DF là đg tb;cmt)

=>AE=DF;AE//DF

=>AEFD là hbh (2 cạnh đối // và =nhau)

Mà H thuộc AE thuộc D và I thuộc DF

=> HE//DF=> HEFD là hình thang 

Lại có: đường cao BH=> ^BHC=90^o

=> HEFD là hình thang cân

=> ^AEF=90^o

=>AEFD là hcn (hbh có 1 góc _|_)

=> ^DFE=90^o (2)

Từ (1) và (2)=> DF là đường trung trực của ^HDB

=> I trung điểm HB

Nên:H và B đối xứng với nhau qua DF (đpcm)

c) Để BDEF là hcn => hbh BDEF có 1 góc vuông 

=> ^FEC=90^o

Mà EA=EC

=>FE là đường trung tuyến của cạnh AC

=>EA=EC=1/2AC

Do đó FD cũng là đường trung tuyến cạnh AB

=>DA=DB=1/2AB

Nên: AC=AB

=> tam giác ABC là tam giác cân tại A

Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A thì BDEF là hcn.