a:

Gọi O là trung điểm của AB

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>BD vuông góc AC tại D

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>AE vuông góc BC tại E

Xét tứ giác CDHE có

góc CDH+góc CEH=180 độ

=>CDHE nội tiếp

b: Xét ΔCAB có

AE,BD là đường cao

AE cắt BD tại H

=>H là trực tâm

=>CH vuông góc AB tại K

c: Xét ΔAKH vuông tại K và ΔAEB vuông tại E có

góc KAH chung

Do đó: ΔAKH đồng dạng với ΔAEB

=>AK/AE=AH/AB

=>AH*AE=AK*AB

Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDA vuông tại D có

góc KBH chung

Do đó: ΔBKH đồng dạng với ΔBDA
=>BK/BD=BH/BA

=>BK*BA=BH*BD

AH*AE+BH*BD

=AK*AB+BK*BA

=BA^2

a) ....................... =) C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn.

b) ....................... =) CH ⊥ AB.

c) ....................... =) AH.AE + BH.BD = AB².

a) Để chứng minh rằng bốn điểm C, D, H, E cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng định lí góc nội tiếp. Theo định lí này, nếu một góc nội tiếp của một đa giác nằm trên cùng một đường tròn, thì các đỉnh của góc đó cũng nằm trên đường tròn đó. Trong trường hợp này, ta có thể chứng minh rằng góc CHD và góc CED là góc nội tiếp của tam giác ABC, do đó bốn điểm C, D, H, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Để chứng minh rằng CH vuông góc với AB, ta sử dụng định lí góc nội tiếp. Theo định lí này, nếu một góc nội tiếp của một đa giác nằm trên cùng một đường tròn, thì góc đó và góc ngoại tiếp của nó có tổng bằng 180 độ. Trong trường hợp này, ta có thể chứng minh rằng góc CHD và góc CED là góc nội tiếp của tam giác ABC, do đó tổng của hai góc này bằng 180 độ. Vì góc CHD và góc CED là hai góc bù nhau, nên CH vuông góc với AB.

c) Để chứng minh rằng AH⋅AE+BH⋅BD=AB^2, ta sử dụng định lí Ptolemy. Theo định lí này, trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tích của hai đường chéo bằng tổng tích của hai cạnh đối diện. Trong trường hợp này, ta có thể chứng minh rằng tứ giác AEBD là một tứ giác nội tiếp đường tròn, do đó AH⋅AE+BH⋅BD=AB^2.

Vậy, ta đã chứng minh được a), b), c) như yêu cầu.

a: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔDCB vuông tại D

=>CD\(\perp\)DB tại D và \(\widehat{CDB}=90^0\)

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>\(\widehat{BEC}=90^0\)

ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)EB tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

b:

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,D,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AH

=>I là trung điểm của AH

c: Xét ΔABC có 

BE,CD là đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại K

Xét ΔHAC có

I,M lần lượt là trung điểm của HA,HC

=>IM là đường trung bình của ΔHAC

=>IM//AC

Xét ΔBHC có

M,O lần lượt là trung điểm của CH,CB

=>MO là đường trung bình của ΔBHC

=>OM//BH

OM//BH

BH\(\perp\)AC

Do đó: OM\(\perp\)AC

IM//AC

OM\(\perp\)AC

Do đó: IM\(\perp\)OM

d: ID=IH

=>ΔDIH cân tại I

=>\(\widehat{IDH}=\widehat{IHD}\)

mà \(\widehat{IHD}=\widehat{KHC}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{KHC}=\widehat{CBD}\left(=90^0-\widehat{DCB}\right)\)

nên \(\widehat{IDH}=\widehat{CBD}\)

OD=OC

=>ΔODC cân tại O

=>\(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)

=>\(\widehat{HDK}=\widehat{DCB}\)

\(\widehat{IDK}=\widehat{IDH}+\widehat{KDH}\)

\(=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}=90^0\)

=>ID là tiếp tuyến của (O)(1)

Xét ΔIDO và ΔIEO có

ID=IE

DO=EO

IO chung

Do đó: ΔIDO=ΔIEO

=>\(\widehat{IDO}=\widehat{IEO}=90^0\)

=>IE là tiếp tuyến của (O)(2)

Từ (1),(2) suy ra các tiếp tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại I(ĐPCM)

a: Xét (O) có 

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

Xét (O) có 

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

Xét ΔABC có

BD là đường cao

CE là đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: AH⊥BC

a: Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>CF\(\perp\)FB tại F

=>CF\(\perp\)AB tại F

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)EC tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC(1)

ΔABC cân tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên AD\(\perp\)BC(2)

Từ (1),(2) suy ra A,H,D thẳng hàng

hay AD\(\perp\)BC tại D

Gọi I là trung điểm của AH

=>I là tâm của đường tròn đường kính AH

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,E,H,F cùng thuộc đường tròn tâm I, đường kính AH

b: IE=IH

=>ΔIEH cân tại I

=>\(\widehat{IHE}=\widehat{IEH}\)

mà \(\widehat{IHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{BHD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{EBC}\right)\)

nên \(\widehat{IEH}=\widehat{BCE}\)

ΔEBC vuông tại E

mà ED là đường trung tuyến

nên DB=DE

=>ΔDBE cân tại D

=>\(\widehat{DBE}=\widehat{DEB}\)

\(\widehat{IED}=\widehat{IEB}+\widehat{DEB}\)

\(=\widehat{IEH}+\widehat{DEB}\)

\(=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^0\)

=>DE là tiếp tuyến của (I)

a, xét tam giác BFC có 

BC là đường kính của(O)

=>tam giác BFC vuông tại F=>góc BFC=90(độ)

xét tam giác CEB có 

BC là đường kính của (O)

=>tam giác CEB vuống tại E=>CEB=90(độ)

=> tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC có tâm (D)

=> 4 điểm B,C,E,F cùng thuộc 1 đường tròn

a, xét tam giác BFC có 

BC là đường kính của(O)

=>tam giác BFC vuông tại F=>góc BFC=90(độ)

xét tam giác CEB có 

BC là đường kính của (O)

=>tam giác CEB vuống tại E=>CEB=90(độ)

=> tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC có tâm (D)

=> vậy đáp án là 4 điểm B,C,E,F cùng thuộc 1 đường tròn

d) Tính BE.BA + CD.CA

Chứng minh tương tự câu b, CD.CA = CI.CB

Từ đó BE.BA + CD.CA = BI.BC + CI.CB

= (BI + CI).BC = BC.BC = B C 2 = 16 2  = 256

bài này mới chữa trên lớp =))