Câu 1 \(k\) chạy từ 2 nhé, mình quên.

câm mồm vào thằng nhóc

hzethy

\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=3k\left(k+1\right)\)

\(VT=\left(k+1\right)\left[k\left(k+2\right)-k\left(k-1\right)\right]=\left(k+1\right)\left(k^2+2k-k^2+k\right)\)

\(=\left(k+1\right).3k=VP\)

k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)

=(k+1)(k²+2k)-(k²-k)(k+1)

=(k+1)[(k²+2k)-(k²-k)]

=(k+1)[k²+2k-k²+k]

=(k+1)[(k²-k²)+(2k+k)]

=(k+1)3k (Đpcm)

Ta có:

\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\\ =k\left(k+1\right)\left[\left(k-2\right)-\left(k-1\right)\right]\\ =k\left(k+1\right)\left[k-2-k+1\right]\\ =k\left(k+1\right)\left\{\left[k+\left(-k\right)\right]+\left(2+1\right)\right\}\\ =k\left(k+1\right).3\\ =3.k\left(k+1\right)\)

Vậy \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\\ =3.k.\left(k+1\right)\)

Ta có:

\(VT=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)

\(=k\left(k+1\right)\left[\left(k+2\right)-\left(k-1\right)\right]\)

\(=k\left(k+1\right)\left[k+2-k+1\right]\)

\(=k\left(k+1\right)\left[\left(k-k\right)+\left(2+1\right)\right]\)

\(=k\left(k+1\right).3\)

\(=3k\left(k+1\right)\)

\(\Rightarrow VT=VP\)

Vậy với \(k\in N\)* thì ta luôn có:

\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=3k\left(k+1\right)\) (Đpcm)

hinh nhu de sai

mày điên à, làm gì có câu hỏi kiểu này?

mày bị điên rồi hả câu hỏi thế này làm gì có người giải được

mày hỏi cô giáo ấy

Từ giả thiết  ta có \(P\left(k\right).\left(k+1\right)=k\)  

Đặt  \(Q\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)-x\)

Khi đó \(Q\left(k\right)=\left(k+1\right).P\left(k\right)-k=0\) thỏa mãn với mọi \(k\in\left\{0;1;2;3;4;.............;2020\right\}\)

Theo định lý  Bézout ta có

\(Q\left(x\right)=x.\left(x-1\right).\left(x-2\right).\left(x-3\right)....\left(x-2020\right).R\left(x\right)\)

Vì đa thức  \(P\left(x\right)\) có bậc là 2020 nên đa thức \(Q\left(x\right)\)  có bậc là 2021.

Suy ra đa thức \(R\left(x\right)\) có bậc là 0 , hay còn gọi là đa thức \(R\left(x\right)\) không  chứa biến số.

Đặt  \(R\left(x\right)=a\)  với \(a\in R\)

Khi đó đa thức \(Q\left(x\right)\) có dạng như sau :

\(Q\left(x\right)=a.x.\left(x-1\right).\left(x-2\right).\left(x-3\right)....\left(x-2020\right)\)
Mặt khác , ta lại có 

\(Q\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)-x\)

Thay \(x=-1\) ta có \(Q\left(-1\right)=1\)

Suy ra                 \(a.\left(-1\right).\left(-2\right).\left(-3\right).\left(-4\right).....\left(-2021\right)=1\)

Suy  ra                       \(a=\dfrac{-1}{2021!}\)

Khi đó đa thức \(Q\left(x\right)\)  có dạng như sau :

\(Q\left(x\right)=\dfrac{-1}{2021!}.x.\left(x-1\right).\left(x-2\right).\left(x-3\right)....\left(x-2020\right)\) 

Mặt khác ta lại có  \(Q\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)-x\)  

Thay  \(x=2021\) ta có 

\(Q\left(2021\right)=2022.P\left(2021\right)-2021\)  

\(\Rightarrow\dfrac{-1}{2021!}.2021.2020.....1=2022.P\left(2021\right)-2021\)

\(\Rightarrow-1=2022.P\left(2021\right)-2021\) 

\(\Rightarrow P\left(2021\right)=\dfrac{1010}{1011}\)

a)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\\\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\tan \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,} \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,} \right)}} = \sqrt 3 \\\cot \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,} \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\frac{\pi }{3}+\left( 2k+1 \right)\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

$ \cos \left[\frac{\pi}{3}+(2 \mathrm{k}+1) \pi\right]=\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi+2 \mathrm{k} \pi\right)=\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)=-\cos \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}$

$\sin \left[\frac{\pi}{3}+(2 \mathrm{k}+1) \pi\right]=\sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi+2 \mathrm{k} \pi\right)=\sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)=-\sin \frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan \left[\frac{\pi}{3}+(2 \mathrm{k}+1) \pi\right]=\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$;

$\tan \left[\frac{\pi}{3}+(2 \mathrm{k}+1) \pi\right]=\cot \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

c)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {k\pi \,} \right) = \left[ \begin{array}{l} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;k = 2n + 1\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;k = 2n\,\,\,\end{array} \right.\\\sin \left( {k\pi \,} \right) = 0\\\tan \left( {k\pi \,} \right) = \frac{{\sin \left( {k\pi \,\,} \right)}}{{\cos \left( {k\pi \,\,} \right)}} = 0\\\cot \left( {k\pi \,\,} \right)\end{array}\)

d)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 0\\\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = \left[ \begin{array}{l}\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\, =  - 1\,\,\,\,\,\,\,;k = 2n + 1\\\sin \left( {\frac{\pi }{2}\,} \right)\, = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;k = 2n\,\,\,\end{array} \right.\\\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right)\\\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,\,} \right) = 0\end{array}\)