F = 5x² + 2y² + 4xy - 2x + 4y + 8

F = ( 4x² + 4xy + y² ) + ( x² - 2x + 1 ) + ( y² + 4y + 4 ) + 3

F = ( 2x + y )² + ( x - 1 )² + ( y + 2 )² + 3

\(\hept{\begin{cases}\left(2x+y\right)^2\\\left(x-1\right)^2\\\left(y+2\right)^2\end{cases}}\ge0\forall x,y\Rightarrow\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+3\ge3\forall x,y\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x+y=0\\x-1=0\\y+2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}}\)

Vậy MinF = 3 <=> x = 1 , y = -2

G = 5x² + 5y² + 8xy + 2y + 2020

= x² + ( 4x² + 8xy + 4y² ) + ( y² + 2y + 1 ) + 2019

= x² + ( 2x + 2y )² + ( y + 1 )² + 2019

\(\hept{\begin{cases}x^2\\\left(2x+2y\right)^2\\\left(y+1\right)^2\end{cases}}\ge0\forall x,y\Rightarrow x^2+\left(2x+2y\right)^2+\left(y+1\right)^2+2019\ge2019\forall x,y\)

Tuy nhiên đẳng thức không xảy ra :P

\(x^2+4y^2-5x+10y-4xy+20\)

\(=x^2-4xy+4y^2-2.\frac{5}{2}\left(x-2y\right)+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+20\)

\(=\left(x-2y\right)^2-2.\frac{5}{2}\left(x-2y\right)+\frac{25}{4}+\frac{55}{4}\)

\(=\left(x-2y-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{55}{4}\)Thay x - 2y = 5 ta được : 

\(=\left(5-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{55}{4}=20\)

\(B=x^2-2xy-2x+2y+y^2\)

\(=x^2-2xy+y^2-2\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)^2-2\left(x-1\right)\)Thay x = y + 1 => x - y = 1 ta được : 

\(=1-2=-1\)

a: A=x^2-2xy+y^2+y^2-4y+4+1

=(x-y)^2+(y-2)^2+1>=1
Dấu = xảy ra khi x=y=2

b: B=4x^2+8xy+4y^2+x^2-2x+1+y^2+2y+1-2

=(2x+2y)^2+(x-1)^2+(y+1)^2-2>=-2

Dấu = xảy ra khi x=1 và y=-1

A \(=\) x\(^2\) +2y\(^2\) - 2xy- 4y + 5

\(=\) ( x\(^2\) + y\(^2\) - 2xy ) + ( y\(^2\) - 4y + 4 ) + 1

\(=\) ( x + y )\(^2\) + ( y - 2 )\(^2\) + 1

Vì ( x + y )\(^2\) và ( y - 2 )\(^2\) > 0 ∀ x và y

Nên ( x + y )\(^2\) + ( y - 2 )\(^2\) + 1 > 1 ∀ x và y

Vậy A có giá trị nhỏ nhất là 1 khi

\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\text{x + y =0}\\y-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=2\end{matrix}\right.\)

B = 5x\(^2\) + 8xy + 5y\(^2\) - 2x = 2y ???

Đề bài câu B sai

D= 5x^2+8xy+5y^2-2x+2y  

=4x^2+8xy+4y^2-2x+2y+y^2+x^2

=(2x+2y)^2+x^2-2*1/2x+1/4+y^2+2*1/2y+1/4-1/2

(2x+2y)^2+(x-1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2>=-1/2

suy ra D>=-1/2 nên D có GTNN là -1/2

Ta có : 5D = 25x² + 40xy + 25y² - 10x + 10y

5D = (5x+ 4y - 1)² + 9y² + 18y - 1  

5D = ( 5x + 4y - 1)² + 9 (y + 1)² - 2

D =\(\frac{1}{5}\). ( 5x + 4y - 1)² + \(\frac{9}{5}\).( y + 1)²  -  \(\frac{2}{5}\)  \(\ge\)\(\frac{-2}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi y+1 = 0  \(\Leftrightarrow\)y = -1

                          5x + 4y - 1 = 0  \(\Leftrightarrow\)x=1

Vậy GTNN của D = \(\frac{-2}{5}\)khi x = 1 ; y = -1

Ta có: 2E = 4x² + 8y² - 8xy - 8x - 8y + 4006

2E = ( 4y - x - 1)² + x² - 6x + 4003

2E = ( 4y - x - 1)² + ( x - 3)² + 4003 - 9

E = \(\frac{1}{2}\).( 4y - x - 1)² +\(\frac{1}{2}\).( x - 3 )² + 1997 \(\ge\)1997

Dấu "=" xảy ra khi x - 3 = 0  \(\Leftrightarrow\)x = 3

                            4x - x -1 = 0  \(\Leftrightarrow\)y = 1

Vậy GTNN của E = 1997 khi x = 3 ; y = 1

Bài 1:

A=x² +y² -2x-2y+2xy+5

=x² +y² -2x-2y+2xy+1+4

=xy+x²-x+xy+y²-y-y-x+1+4

=x(x+y-1)+y(x+y-1)-1(x+y-1)

=(x+y-1)(x+y-1)

=(x+y-1)²+4.Với x+y=3

=>A=(3-1)²+4=2²+4=8

Bài 2:

B=x^2 +4y^2-2x-4y-4xy+10

=-2xy+x²-x-2xy+4y²+2y-x+2y+1-8y+9

=x(x-2y-1)-2y(x-2y-1)-1(x-2y-1)-8y+9

=(x-2y-1)(x-2y-1)-8y+9

=(x-2y-1)²-8y+9

Với x-2y=5.Ta có:... tự thay

Bài 3: chịu