Hệ:  m x + 3 m − 2 y + m − 3 = 0 2 x + m + 1 y − 4 = 0 ⇔ m x + 3 m − 2 y = 3 − m 2 x + m + 1 y = 4

Ta có:

D = m 3 m − 2 2 m + 1 = m 2 − 5 m + 4 = m − 1 m − 4

D x = 3 − m 3 m − 2 4 m + 1

= 3 − m m + 1 − 4 3 m − 2 = − m + 11 = 1 − m m + 11

D y = m 3 − m 2 4 = 4 m − 6 + 2 m = 6 m − 6 = 6 m − 1

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

⇔ D ≠ 0 ⇔ m − 1 m − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 m ≠ 4

⇒ x = D x D = 1 − m m + 11 m − 1 m − 4 = m + 11 4 − m     ( 1 ) y = D y D = 6 m − 1 m − 1 m − 4 = 6 m − 4     ( 2 )

Từ 2 ⇒ m − 4 y = 6 ⇔ m y = 6 + 4 y ⇔ m = 6 + 4 y y = 6 y + 4

Thay vào (1) ta được:

x = 6 y + 4 + 11 : 4 − 6 y − 4 = − 6 + 15 y 6 = − 1 − 15 6 y

Đáp án cần chọn là: C

a) Thay \(m=1\) vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=1\\x+2y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

  Vậy ...

b) HPT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-2y=4m-2\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7m\\y=2m-1-3x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m\\y=-m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x^2+y^2=5\) 

\(\Rightarrow m^2+m^2+2m+1=5\) \(\Leftrightarrow m^2+m-2=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-2\end{matrix}\right.\)

  Vậy ...

c) Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

Ta có: \(x-3y>0\)

\(\Rightarrow m-3\left(-m-1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow4m+3>0\) \(\Leftrightarrow m>-\dfrac{3}{4}\)

  Vậy ...

a) Thay m=1 vào hệ pt, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=1\\x+2y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-y=1\\3x+6y=15\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-7y=-14\\x+2y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=5-2y=5-2\cdot2=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi m=1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x,y)=(1;2)

Ta có  x + 2 y = 2 m x − y = m

⇔ x = 2 − 2 y m 2 − 2 y − y = m ⇔ x = 2 − 2 y 2 m + 1 y = m

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì  m ≠ - 1 2

Suy ra  y = m 2 m + 1 ⇒ x = 2 − 2. m 2 m + 1 ⇒ x = 2 m + 2 2 m + 1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x = 2 m + 2 2 m + 1 y = m 2 m + 1

Để  x > 1 y > 0

⇔ 2 m + 2 2 m + 1 > 1 m 2 m + 1 > 0 ⇔ 1 2 m + 1 > 0 m 2 m + 1 > 0 ⇔ 2 m + 1 > 0 m > 0 ⇔ m > − 1 2 m > 0 ⇒ m > 0

Kết hợp điều kiện m ≠ - 1 2 ta có m > 0

Đáp án: A

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=m\\5x-y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=m\\15x-3y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}17x=m+3\\5x-y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+3}{17}\\y=5x-1=\dfrac{5m+15}{17}-\dfrac{17}{17}=\dfrac{5m-2}{17}\end{matrix}\right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho x<0 và y>0 thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m+3}{17}< 0\\\dfrac{5m-2}{17}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+3< 0\\5m-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -3\\m>\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=10\\2x-y=m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=10\\4x-2y=2m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=10+2m\\3x+2y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{10+2m}{7}\\3\left(\dfrac{10+2m}{7}\right)+2y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{10+2m}{7}\\\dfrac{30+6m}{7}+2y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{10+2m}{7}\\y=\dfrac{40-6m}{14}\end{matrix}\right.\)

Để \(x>0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{10+2m}{7}>0\)

               \(\Leftrightarrow m>-5\) (1)

Để \(y>0\)  \(\Leftrightarrow40-6m< 0\) 

                 \(\Leftrightarrow m>\dfrac{20}{3}\) (2)

\(\left(1\right);\left(2\right)\rightarrow m>\dfrac{20}{3}\)

 Vậy \(m>\dfrac{20}{3}\) thì \(x>0;y< 0\)

\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-y\\m-y+ym+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-y\\ym=1-m\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-\dfrac{1-m}{m}=\dfrac{m^2+m-1}{m}\\y=\dfrac{1-m}{m}\end{matrix}\right.\)

\(x+2y>0\\ \Leftrightarrow\dfrac{m^2+m-1}{m}+\dfrac{2-2m}{m}>0\\ \Leftrightarrow\dfrac{m^2-m+1}{m}>0\)

Mà \(m^2-m+1=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

Vậy \(m>0\) thỏa đề