Tham khảo:

Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  \(Q=\s... - Hoc24

Ta có a² + b²  = 4 <=> 2ab = (a + b)² - 4

Ta có \(\frac{ab+a+b+2}{a+b+2}=1+\frac{ab}{a+b+2}\)

= \(1+\frac{\left(a+b\right)^2-4}{2\left(a+b+2\right)}\)

= \(1+\frac{a+b-2}{2}\)(1)

Mà \(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le a^2+b^2=4\)

<=> a + b \(\le\)\(2\sqrt{2}\)

Từ đó <=> (1) \(\le\)\(\sqrt{2}\)

Từ đó => P \(\sqrt[4030]{2}\)

Đạt được khi a = b = \(\sqrt{2}\)

∙2/(a+b)=2/(a²+b²)≥(a+b)²⇒a+b≤2

Do đó:

S=a/a+1+b/b+1=(1−1/a+1)+(1−1/b+1)=2−(1/a+1+1/b+1)≤2−4/a+b+2≤2−4/2+2=1

∙2/(a+b)=2/(a²+b²)≥(a+b)²⇒a+b≤2

Do đó:

S=a/a+1+b/b+1=(1−1/a+1)+(1−1/b+1)=2−(1/a+1+1/b+1)≤2−4/a+b+2≤2−4/2+2=1

đề bài này sao sao ý của mik là nhỏ hơn hoặc bằng a+b

∙2(a+b)=2(a^2+b²)≥(a+b)²⇒a+b≤2

Do đó:

S=a/a+1+b/b+1=(1−1/a+1)+(1−1/b+1)=2−(1/a+1+1/b+1)≤2−4/a+b+2≤2−4/2+2=1

Ta có: \(a^2+b^2=4\left(gt\right)\Rightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-4\)

\(\Rightarrow2M=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)

Mà \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)

Vậy GTLN của \(M=\frac{ab}{a+b+2}=\sqrt{2}-1\)khi \(a=b=\sqrt{2}\)

Ta có a²+b²=4

<=> (a+b)²=4+2ab

<=> (a+b)²-4=2ab

<=> (a+b-2)(a+b+2)=2ab

<=> \(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a+b+2\right)}{2}=ab\)

Ta có \(M=\frac{ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{a+b-2}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\)

Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho 2 số a/2 và b/2 ta có

\(\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\frac{1}{2}.4\left(doa^2+b^2=4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le2\)

\(\Rightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\le\sqrt{2}\)

Do đó \(M=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Vậy Max M = \(\sqrt{2}-1\)

Cảm ơn nha!!

Ta có:

\(2M=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{a+b+2}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}-2\)

\(=2\sqrt{2}-2\)

\(\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)

Ta có :

   \(2M=\frac{2ab}{a+b+2}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{a+b+2}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}-2\)

\(=2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow M\le\sqrt{2}-1\)

Ta có:

\(2M=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{a+b+2}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow M\le\sqrt{2}-1\)

2) \(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15a}{16}+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(S\ge\frac{15a}{16}+2.\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}=\frac{15.4}{16}+2.\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{15}{4}+2.\frac{1}{4}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)

\(S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)

Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)

kudo shinichi sao cách làm giống của thầy Hồng Trí Quang vậy bạn?

\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15}{16}a+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{15}{16}a+2\sqrt{\frac{1.a}{16.a}}=\frac{15}{16}a+2.\frac{1}{4}\)

\(=\frac{15}{16}.4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)

Dấu "=" xảy ra khi a = 4

Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)