(Hà Nam)
Cho \(x,y\) là hai số dương thỏa mãn điều kiện \(x+3y\le10\). Chứng minh rằng
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\).
Khi nào xảy ra đẳng thức?
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x+3y\le10\)
Chứng minh rằng \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ???
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+ 3y \(\le\) 10
Chứng minh rằng \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
+\(10=x+3y=x+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}\ge10\sqrt[10]{\frac{1}{3^9}x.y^9}\)
\(=\frac{10}{3}.\sqrt[10]{3}.\sqrt[10]{xy^9}\)
\(\Rightarrow xy^9\le3^9\)
+\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{3y}}+\frac{3}{\sqrt{3y}}+.....+\frac{3}{\sqrt{3y}}\)
\(\ge10\sqrt[10]{\frac{3^9}{\sqrt{3^9x.y^9}}}\ge10\sqrt[10]{\frac{3^9}{\sqrt{3^9.3^9}}}=10\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=1;y=3\)
x + 25 = 64
x = 64 - 25
x = 39
Vậy x = 39
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{x}}.x}=3\left(1\right)\)
\(\frac{27}{\sqrt{3y}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}+3y\ge3\sqrt[3]{\frac{27}{\sqrt{3y}}.\frac{27}{\sqrt{3y}}.3y}=27\left(2\right)\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1) và (2) ta được: \(2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\right)+x+3y\ge30\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\right)\ge30-\left(x+3y\right)\ge20\)(Do theo giả thiết thì \(x+3y\le10\))
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)
Cho x,y dương thỏa mãn x+3y ≤ 10. Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\)
Ta có:\(\left(1+9\right)\left(x+3y\right)\ge\left(\sqrt{x}+3\sqrt{3y}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+3\sqrt{3y}\le10\)
Đặt \(P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\)
\(P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}+\frac{27}{\sqrt{3y}}+3\sqrt{3y}-\left(\sqrt{x}+3\sqrt{3y}\right)\)
\(P\ge2+18-10=10\)
"="<=>x=1;y=3
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+3y\(\le\) 10
CMR: \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{27}{\sqrt{3y}}\ge10.\) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải:
Áp dụng BĐT SVac-xơ:
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}\geq \frac{(1+3+3+3)^2}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{x+3\sqrt{3y}}(1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x+3y)(1+9)\geq (\sqrt{x}+3\sqrt{3y})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}+3\sqrt{3y}\leq \sqrt{10(x+3y)}\leq 10(2)\) do \(x+3y\leq 10\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{x+3\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{10}=10\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x}}{1}=\frac{\sqrt{3y}}{3}; x+3y=10\Rightarrow x=1;y=3\)
Cho x,y là các số dương thỏa mãn: x+3y\(\le\)10
CMR:: \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\)
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x + 3y ≤ 10. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{27}{\sqrt{3y}}\) ≥ 10
Ta có: \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{27}{\sqrt{3y}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{81}{3\sqrt{3y}}\ge\dfrac{\left(1+9\right)^2}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}=\dfrac{100}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}\) (1)
Áp dụng BĐT của Cô-si ta có:
\(\sqrt{x}=\sqrt{1.x}\le\dfrac{1+x}{2};3\sqrt{3y}\le\dfrac{9+3y}{2}\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\ge\dfrac{100}{\dfrac{1+x}{2}+\dfrac{9+3y}{2}}=\dfrac{100}{\dfrac{10+x+3y}{2}}\ge\dfrac{100}{\dfrac{10+10}{2}}=\dfrac{100}{10}=10\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ x=1;y=3
(Nghệ An)
Cho \(x,y\) là hai số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y\ge3\). Chứng minh rằng
\(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi nào?
1)Với hai số dương x và y, chứng minh rằng \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{x+y}{4}\ge x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Cách khác:
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{\left(x+y\right)}{4}\ge2xy+\frac{x+y}{4}\)
\(=\frac{4xy+x+4xy+y}{4}=\frac{x\left(4y+1\right)+y\left(4x+1\right)}{4}\)
\(\ge\frac{4x\sqrt{y}+4y\sqrt{x}}{4}=x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{2}\left(x+y\right)\left(x+y+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\left(x+\frac{1}{4}+y+\frac{1}{4}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(x+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x}{4}}=\sqrt{x}\)
\(y+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{y}{4}}=\sqrt{y}\)
do đó \(VT\ge\frac{1}{2}.2.\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\)
Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn: x+y+z=3. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
ta có 3x + yz = x2 + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)
do đó:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}{\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x\right)\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}\)
= \(\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}\le\frac{x\left(\frac{x+y+x+z}{2}-x\right)}{xy+yz+zx}\)\(\le\frac{x\left(y+z\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
tương tự với 2 số hạng còn lại nên ta được: P\(\le\)1. đpcm
hi minh ket ban nhe
m.imgur.com/a/ls9dmpn
Cậu chịu khó đánh máy nhé ! Tớ dùng đt nên nhác phải đánh text lắm :(((
Cách mình ngắn hơn trên khá nhìu nha !!!!