Để \(\frac{1}{x^2-4x+9}\)đạt GTLN

\(\Leftrightarrow x^2-4x+9\)đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có : \(x^2-4x+9\)

\(=\left(x-2\right)^2+5\ge5\)

Dấu " = " xảy ra : \(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy \(max_A=\frac{1}{5}\Leftrightarrow x=2\)

\(A=\frac{1}{x^2-4x+9}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{\left(x-2\right)^2+5}\le\frac{1}{5}\)

\(maxA=\frac{1}{5}\)dấu " = " xảy ra khi \(x=2\)

Vậy : ................

Đặt \(A=\frac{1}{x^2+4x+9}\)

\(A=\frac{1}{x^2+4x+4+5}\)

\(A=\frac{1}{\left(x+2\right)^2+5}\le\frac{1}{5}\)

=> GTLN của \(A=\frac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x=-2\)

Vậy ..............

\(A=\dfrac{1}{x^2-4x+4+5}=\dfrac{1}{\left(x-2\right)^2+5}\)

Do \(\left(x-2\right)^2\ge0\) ; \(\forall x\Rightarrow\left(x-2\right)^2+5\ge5\) ; \(\forall x\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{5}\)

\(A_{max}=\dfrac{1}{5}\) khi \(x=2\)

\(A=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+5\right)}\)

\(2A=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+5}\)

\(2A=\frac{x+5-x+1}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}=\frac{6}{x^2+4x-5}\Leftrightarrow A=\frac{3}{\left(x+2\right)^2-9}\le\frac{3}{-9}=-3\)

Max A = -3 khi x =-2 (TM)

a) Ta có : \(E=2+\frac{1}{x^2+2x+4}=2+\frac{1}{\left(x+1\right)^2+3}\) đạt GTLN

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+1\right)^2+3}\)đạt GTLN

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+3\)đạt GTNN \(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy GTLN của E là \(\frac{7}{3}\)khi x = -1

\(F=\frac{6x-8}{x^2+1}=\frac{\left(x^2+1\right)-\left(x^2-6x+9\right)}{x^2+1}=1-\frac{\left(x-3\right)^2}{x^2+1}\)

F có GTLN \(\Leftrightarrow\frac{\left(x-3\right)^2}{x^2+1}\)có GTNN khi x = 3

Vậy GTLN của F là 1 khi x = 3

Cách khác cho câu b

\(F=\frac{6x-8}{x^2+1}\Rightarrow F\cdot x^2+F-6x+8=0\)

\(\Leftrightarrow F\cdot x^2-6x+\left(F+8\right)=0\)

Xét \(\Delta'=9-\left(F+8\right)\cdot F=9-F^2-8F\ge0\)

Đến đây chặn F là được nhế !!!!

cách 2 

\(Pain=\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{\frac{16}{2x+1}}\right)^2\ge0\)

                \(=2x+1-\frac{16}{2x+1}-2\sqrt{\frac{\left(2x+1\right)16}{\left(2x+1\right)}}\ge0\)

                    \(=\frac{\left(2x+1\right)^2+16}{2x+1}\ge8\)

\(a=\frac{2x+1}{4x^2+4x+17}=\frac{2x+1}{\left(2x+1\right)^2+16}\ge\frac{1}{8}\)

\(4x^2A+4xa+17a=2x+1.\)

\(4x^2A+2x\left(2a-1\right)+\left(17a-1\right)=0\)

để pt có nghiệm thì  \(\Delta`=\left(2a-1\right)^2-4a\left(17a-1\right)\ge0\)

\(\Delta`=\left(1-8a\right)\left(8a+1\right)\ge0\)

\(1-8a\ge0\Leftrightarrow a\le\frac{1}{8}\) " max

\(8a+1\ge0\Leftrightarrow a\ge-\frac{1}{8}\) Min 

\(\frac{1}{8}\ge a\ge-\frac{1}{8}\)

tìm hộ lỗi sai :))  , chia sẻ luôn cách tìm min max pt dạng như trên

công thức tổng quát nè

\(M=\frac{ax^2+bx+C}{ex^2+fx+g}\)

\(ex^2M+fxM+gM=ax^2+bx+c\)

\(x^2\left(e-a\right)+x\left(fm-b\right)+\left(gm-c\right)=0\)

\(\Delta=\left(fm-b\right)^2-4\left(gm-c\right)\left(e-a\right)\ge0\)

pt bậc 2 ẩn M , tính denta ra nghiệm rồi phân thích thành nhân tử là ok

\(A=\frac{2x+1}{\left(4x^2+4x+1\right)+16}=\frac{2x+1}{\left(2x+1\right)^2+16}\)

Đặt \(B=\frac{\left(2x+1\right)^2+16}{2x+1}=\left(2x+1\right)+\frac{16}{2x+1}\ge2\sqrt{\left(2x+1\right).\frac{16}{2x+1}}=8\)(bất đẳng thức cosi cho 2 số dương)

min B=8 => maxA=1/8

"=" xảy ra <=> \(2x+1=\frac{16}{2x+1}\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2=16\Leftrightarrow2x+1=4\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)(vì x>0 nên 2x+1>1)

ĐKXĐ x thuộc R

ta thấy x^2 +1 >=0

=> \(\frac{3-4x}{x^2+1}\)>=0

dấu bằng xảy ra khi và chỉa khi

3 -4x =0

=> 4x = 3

=> x = \(\frac{3}{4}\)

vậy MIN_A = 0 tại x = \(\frac{3}{4}\)