gọi I là trung điểm AD

xét tam giác ACD có EI là đường trung bình nên IE song song CD và bằng 1/2 CD

xét trường hợp 1 EF cắt OA tại K ko thuộc tia Ox và cắt Oy tại Q thuộc Oy

có EI song song CD nên IEF=FQD

tương tự ta có IN là đường trung bình tam giác ABD nên IF song song AB và bằng 1/2 AB 

AB=CD nên IE=IF 

tam giác IEF cân tại I

ta có IF song song AB nên IF song song OK

INK= KNI

IMN = NQD = OQK 

nên tam giác OKQ cân tại O có Ot là phân giác góc ngoài tại O nên Ot song song KQ hay song song MN

trường hợp còn lại làm tương tị

chỗ Ot là phân giác ngoài ban tự chứng minh song song đi dễ mà 

a) Ta có: \(AF//ME\left(gt\right)\)

mà AF⊥AB(\(\widehat{CAB}=90\) độ)

nên ME⊥AB(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)

Ta có: \(MF//AB\left(gt\right)\)

mà AC⊥AB(\(\widehat{CAB}=90\) độ)

nên MF⊥AC(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)

Ta có: AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của ΔCAB vuông tại A(do M là trung điểm của BC)

⇒\(AM=\frac{BC}{2}\)(định lí 1 về từ hình chữ nhật áp dụng vào tam giác vuông)

mà \(BM=\frac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)

nên BM=AM

Xét ΔMEA(\(\widehat{MEA}=90\) độ) và ΔMEB(\(\widehat{MEB}=90\) độ) có

MA=MB(cmt)

ME chung

Do đó ΔMEA=ΔMEB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒AE=EB(hai cạnh tương ứng)(1)

Xét tứ giác AEMF có

\(\widehat{FAE}=90\) độ(\(\widehat{CAB}=90\) độ, \(F\in AC,E\in AB\))

\(\widehat{MEA}=90\) độ(ME⊥AB)

\(\widehat{AFM}=90\) độ(MF⊥AC)

Do đó: AEMF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒AE=FM và AE//FM(cặp cạnh đối của hình chữ nhật AEMF)(2)

Ta có: AE=EB(cmt)

mà AE và EB có điểm chung là E

nên E là trung điểm của AB

⇒E∈AB(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra

FM=EB và FM//EB

Xét tứ giác FMBE có

FM=EB(cmt) và FM//EB(cmt)

nên FMBE là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒FE//BM(cặp cạnh đối của hình bình hành FMBE) (4)

Ta có: M là trung điểm của BC(gt)

⇒M∈BC(5)

Từ (4) và (5) suy ra FE//BC

Xét tứ giác FEBC có FE//BC(cmt)

nên FEBC là hình thang có hai đáy là FE và BC(dấu hiệu nhận biết hình thang)

b) câu b mình chứng minh ở trên rồi nha bạn

c) Ta có: FE=AM(do FE và AM là hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF)

mà O là trung điểm của đường chéo AM(gt)

nên O cũng là trung điểm của đường chéo FE

hay F và E đối xứng với nhau qua O(đpcm)

Xét tứ giác AKBM có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (FK = FM, FA = FB) nên AKBM là hình bình hành.

Vậy thì AK song song và bằng BM.

Chứng minh tương tự thì BMCH cũng là hình bình hành, suy ra HC song song và bằng BM.

Từ đó ta có AK song song và bằng HC, hay AKHC là hình bình hành.

Vậy AH giao CK tại trung điểm mỗi đường.  (1)

Chứng minh hoàn toàn tương tự:

IC song song và bằng AM, KB cũng song song và bằng AM nên IC song song và bằng KB.

Suy ra ICBK là hình bình hành hau BI giao CK tại trung điểm mỗi đường. (2)

Từ (1) và (2), ta có AH, BI, CK đồng quy tại điểm G là trung điểm mỗi đoạn trên.