- Chắc là gọi thầy Nguyễn Việt Lâm thôi :)

1.

\(2n+1\) luôn lẻ \(\Rightarrow2n+1=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1\Rightarrow n=2a\left(a+1\right)\)

\(\Rightarrow n\) chẵn \(\Rightarrow n+1\) lẻ \(\Rightarrow\) là số chính phương lẻ

\(\Rightarrow n+1=\left(2b+1\right)^2=4b^2+4b+1\)

\(\Rightarrow n=4b\left(b+1\right)\)

Mà \(b\left(b+1\right)\) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) luôn chẵn

\(\Rightarrow4b\left(b+1\right)⋮8\Rightarrow n⋮8\)

Mặt khác số chính phương chia 3 chỉ có các số dư 0 và 1

Mà \(\left(n+1\right)+\left(2n+1\right)=3n+2\) chia 3 dư 2

\(\Rightarrow n+1\) và \(2n+1\) đều chia 3 dư 1

\(\Rightarrow n⋮3\)

\(\Rightarrow n⋮24\) do 3 và 8 nguyên tố cùng nhau

2.

Lý luận tương tự bài 1, ta được n chẵn

Mặt khác các số chính phương chia 5 chỉ có các số dư 0, 1, 4

Mà: \(\left(2n+1\right)+\left(3n+1\right)=5n+2\) chia 5 dư 2

\(\Rightarrow2n+1\) và \(3n+1\) đều chia 5 dư 1

\(\Rightarrow2n⋮5\Rightarrow n⋮5\) (do 2 và 5 nguyên tố cùng nhau)

\(\Rightarrow n=5k\Rightarrow6n+5=5\left(6k+1\right)\)

- TH1: \(k=0\Rightarrow n=0\Rightarrow6n+5\) là SNT (thỏa mãn)

- TH2: \(k>0\Rightarrow6k+1>0\Rightarrow6n+5\) có 2 ước dương lớn hơn 1 \(\Rightarrow\) không là SNT (loại)

Vậy \(n=0\) là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu

các số chứ ko phải cặp số nha

mới có lớp 6 thôi à

Tui mới lớp 6

Do \(2n+1\) và \(3n+1\) là các số chính phương dương nên tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho \(2n+1\)\(=a^2\) và \(3n+1=b^2\). Khi đó ta có:

\(2n+9=25.\left(2n+1\right)-16.\left(3n+1\right)=25a^2-16b^2=\left(5a-4b\right).\left(5a+4b\right)\)

Do \(2n+9\) là nguyên tố,\(5a+4b>1\) và \(5a+4b>5a-4b\) nên ta phải có \(5a-4b=1\), tức là: \(b=\dfrac{5a-1}{4}\)

\(\Rightarrow\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\left(1\right)\\3n+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) : \(2n+1=a^2\Rightarrow n=\dfrac{a^2-1}{2}\) và a > 1 ( do n>0)

Thay vào (2): \(\dfrac{3.\left(a^2-1\right)}{2}+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\)  => (a - 1).(a - 9) = 0

=> a = 9. Từ đó ta có n = 40

Vậy duy nhất một giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề bài là : n = 40

a) \(4n-5⋮2n-1\)

\(\Rightarrow\left(4n-2\right)-3⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2\left(2n-1\right)-3⋮2n-1\)

\(\Rightarrow-3⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

+) \(2n-1=1\Rightarrow2n=2\Rightarrow n=1\) ( chọn )

+) \(2x-1=-1\Rightarrow2n=0\Rightarrow n=0\) ( chọn )

+) \(2n-1=3\Rightarrow2n=4\Rightarrow n=2\) ( chọn )

+) \(2n-1=-3\Rightarrow n=-1\) ( loại )

Vậy \(n\in\left\{1;0;2\right\}\)

vãi cả Ngọc .