Mọi người giúp em 4 bài này với mọi người giải bằng tiếng việt hay là tiếng anh cũng dc ạ (tiếng anh thì tốt ạ)
bài 1:Gọi n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là số chính phương . Chứng minh rằng n chia hết cho 24.
bài2:Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2n + 1,3n + 1 đều là bình phương hoàn hảo và 6n + 5 là số nguyên tố.
bài3:tìm các số nguyên a, b, c sao cho a^4 + b^4 = 7c^4 +5.
bài4:Tìm tất cả các số nguyên dương x, y và các số nguyên tố p sao cho x^2 −3xy + p^2y^2 = 12p.
1.
\(2n+1\) luôn lẻ \(\Rightarrow2n+1=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1\Rightarrow n=2a\left(a+1\right)\)
\(\Rightarrow n\) chẵn \(\Rightarrow n+1\) lẻ \(\Rightarrow\) là số chính phương lẻ
\(\Rightarrow n+1=\left(2b+1\right)^2=4b^2+4b+1\)
\(\Rightarrow n=4b\left(b+1\right)\)
Mà \(b\left(b+1\right)\) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) luôn chẵn
\(\Rightarrow4b\left(b+1\right)⋮8\Rightarrow n⋮8\)
Mặt khác số chính phương chia 3 chỉ có các số dư 0 và 1
Mà \(\left(n+1\right)+\left(2n+1\right)=3n+2\) chia 3 dư 2
\(\Rightarrow n+1\) và \(2n+1\) đều chia 3 dư 1
\(\Rightarrow n⋮3\)
\(\Rightarrow n⋮24\) do 3 và 8 nguyên tố cùng nhau
2.
Lý luận tương tự bài 1, ta được n chẵn
Mặt khác các số chính phương chia 5 chỉ có các số dư 0, 1, 4
Mà: \(\left(2n+1\right)+\left(3n+1\right)=5n+2\) chia 5 dư 2
\(\Rightarrow2n+1\) và \(3n+1\) đều chia 5 dư 1
\(\Rightarrow2n⋮5\Rightarrow n⋮5\) (do 2 và 5 nguyên tố cùng nhau)
\(\Rightarrow n=5k\Rightarrow6n+5=5\left(6k+1\right)\)
- TH1: \(k=0\Rightarrow n=0\Rightarrow6n+5\) là SNT (thỏa mãn)
- TH2: \(k>0\Rightarrow6k+1>0\Rightarrow6n+5\) có 2 ước dương lớn hơn 1 \(\Rightarrow\) không là SNT (loại)
Vậy \(n=0\) là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu
3.
Ta có 1 số chính phương \(a^2=n\) chia 8 chỉ có các số dư 0, 1, 4
\(\Rightarrow a^4=n^2\) chia 8 chỉ có số dư 0 hoặc 1
\(\Rightarrow a^4+b^4\) chia 8 chỉ có các số dư 0, 1, 2 (1)
Lại có: \(c^4\) chia 8 dư 0 hoặc 1 \(\Rightarrow7c^4\) chia 8 dư 0 hoặc -1
\(\Rightarrow7c^4+5\) chia 8 dư 5 hoặc 4 (2)
Từ (1); (2) \(\Rightarrow a^4+b^4\) và \(7c^4+5\) luôn khác số dư khi chia 8
\(\Rightarrow\) Không tồn tại a;b;c nguyên thỏa mãn yêu cầu
4.
\(\Leftrightarrow x^2+p^2y^2=3\left(xy+4p\right)\)
\(\Rightarrow x^2+p^2y^2\) chia hết cho 3 (1)
Nếu tồn tại 1 trong 2 số \(x^2\) hoặc \(p^2y^2\) không chia hết cho 3 \(\Rightarrow x^2+\left(py\right)^2\) chia 3 dư 1 hoặc 2 (do các số chính phương chia 3 chỉ có các số dư 0 hoặc 1) \(\Rightarrow\) trái với (1)
\(\Rightarrow x^2\) và \(p^2y^2\) đều chia hết cho 3
\(\Rightarrow x^2\) và \(p^2y^2\) đều chia hết cho \(3^2=9\)
\(\Rightarrow3\left(xy+4p\right)⋮9\)
\(\Rightarrow xy+4p⋮3\)
Mà x chia hết cho 3 \(\Rightarrow4p⋮3\Rightarrow p⋮3\Rightarrow p=3\)
Thay vào bài toán: \(x^2-3xy+9y^2=36\) (2)
\(\Leftrightarrow9k^2-9ky+9y^2=36\) (do x chia hết 3 nên thay \(x=3k\))
\(\Leftrightarrow k^2-ky+y^2=4\)
\(\Leftrightarrow\left(2k-y\right)^2=16-3y^2\ge0\)
\(\Rightarrow y^2\le\dfrac{16}{3}\Rightarrow y=\left\{-2;0;2\right\}\)
Lần lượt thế vào (2) tìm x nguyên tương ứng
