Question

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ là số chính phương

Answer 1

Ta có: A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 2⁸.(1 + 2³ + 2^n-8) = (2³)².(1 + 2.2².1 + 2⁴ +2^n-8 - 2⁴) =  (2³)².((1 + 2²)² + 2^n-8 - 2⁴)

=> A là số chính phương <=> 2^n-8=2⁴=> n-8=4=> n=12

Answer 2

Ta có: A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 2⁸.(1 + 2³ + 2^n-8) = (2³)².(1 + 2.2².1 + 2⁴ +2^n-8 - 2⁴) =  (2³)².((1 + 2²)² + 2^n-8 - 2⁴)

=> A là số chính phương <=> 2^n-8=2⁴=> n-8=4=> n=12

Answer 3

Giả sử 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = a² (a  N) thì

2ⁿ = a² – 48² = (a + 48) (a – 48)

2^p. 2^q = (a + 48) (a – 48) với p, q  N ; p + q = n và p > q

      a + 48 = 2^p  2^p - 2^q = 96 2^q (2^p-q – 1) = 2⁵.3

a – 48 = 2^q

 q = 5 và p – q =  2  p = 7

 n = 5 + 7 = 12

Thử lại ta có: 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 80²