\(0\le x,y,z\le1\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\)

Tương tự:

\(yz+1\ge y+z;zx+1\ge z+x\)

Khi đó

\(LHS\le\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\le\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\)

Không chắc nha !

\(\frac{2013x}{xy+2013x+2013}+\frac{y}{yz+y+2013}+\frac{z}{xz+z+1}\)

\(=\frac{x^2yz}{xy+x^2yz+xyz}+\frac{y}{yz+y+xyz}+\frac{z}{xz+z+1}\)

\(=\frac{xz}{1+xz+z}+\frac{1}{z+1+xz}+\frac{z}{xz+z+1}\)

\(=\frac{xz+z+1}{xz+z+1}=1\)

=>đpcm

2013x/xy+2013x+2013 + y/yz+y+2013 + z/xz+z+1

= xyz.x/xy+xyz.x+xyz + y/yz+y+xyz + z/xz+z+1

= xz/1+xz+z + 1/z+1+xz + z/xz+z+1

= xz+1+x/1+xz+x = 1 (đpcm)

Thay xyz=2013 vào ta có:

\(\frac{xyz\cdot x}{xy+xyz\cdot x+xyz}+\frac{y}{yz+y+xyz}+\frac{z}{xz+z+1}\)

\(=\frac{x^2yz}{xy+x^2yz+xyz}+\frac{y}{y\left(z+1+xz\right)}+\frac{z}{xz+z+1}\)

\(=\frac{xy\cdot xz}{xy\left(xz+z+1\right)}+\frac{1}{xz+z+1}+\frac{z}{xz+z+1}\)

\(=\frac{xz}{xz+z+1}+\frac{1}{xz+z+1}+\frac{z}{xz+z+1}\)

\(=\frac{xz+1+z}{xz+z+1}=1\) (Đpcm)

\(VT=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(z+x+y\right)^2}\ge16\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)

Bài 3 thì \(\le1\)

Bài 4 thì \(\ge\frac{3}{4}\) nhé

Dễ dàng chứng minh được:

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với \(a,b,c>0\)(1)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Theo đề bài, vì x, y, z > 0 nên áp dụng (1), ta có:

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)(2)

Vì x y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(3)

Chứng mih tương tự, ta được;

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(4);

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(5)

Từ (3), (4), (5), ta được:

\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\)\(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{x+y+z}{2}\)

Mà theo đề bài, \(x+y+z\ge3\) nên:

\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{2}\left(6\right)\)

Từ (2) và (6), ta được:

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)(điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy nếu x, y, z > 0 và \(x+y+z\ge3\)thì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{x+\sqrt{yz}}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{4}}=x\)

Tượng tự ta có : \(\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{y+\sqrt{xz}}{4}\ge y\)

\(\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}+\frac{z+\sqrt{xy}}{4}\ge z\)

Cộng vế với vế của BĐT ta được : 

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}+\frac{x+\sqrt{yz}}{4}+\frac{y+\sqrt{xz}}{4}+\frac{z+\sqrt{xy}}{4}\ge x+y+z\)

\(VT\ge x+y+z-\frac{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}{4}\)

mà \(\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)

\(VT\ge\frac{4\left(x+y+z\right)-2\left(x+y+z\right)}{4}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{4}\)

mà \(x+y+z\ge3\)hay \(VT\ge=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra <=> x = y = z = 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)

Hoàn toàn tương tự :
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\sqrt{\frac{3}{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\sqrt{\frac{3}{xz}}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức và thu lại ta được :
\(VT\ge\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{xz}}\ge3\sqrt[6]{\frac{27}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[6]{27}=3\sqrt{3}\)

( Cauchy )

Ta có đpcm 

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Cách khác nè bạn

Xét bđt phụ \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\left(a,b>0\right)\)

Thật vậy\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với a,b>0)

Áp dụng ta có \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{xy}\sqrt{x+y+z}}{xy}=\sqrt{\frac{x+y+z}{xy}}\)

T tự ta có:\(VT\ge\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{xy}\right)=\sqrt{x+y+z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\left(xyz=1\left(gt\right)\right)\)

1/

\(P=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{2}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yx+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)\

\(\ge\frac{2}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}+\frac{\left(2\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=14\)

Ta thấy dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z=\frac{1}{3}\\\frac{1}{xy+yz+xz}=\frac{\sqrt{2}}{x^2+y^2+z^2}\end{cases}}\) 

Hai điều kiện không thể đồng thời xảy ra nên không tồn tại dấu bằng. Vậy P > 14

1) vì x,y,z là các số bất kì, ta có bđt luôn đúng: (x+y+z)² \(\ge\)3(xy+yz+zx)

vì x+y+z=1 nên suy ra \(\frac{1}{xy+yz+zx}\ge3\)

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

ta có \(\frac{1}{3\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{4}{\left(x+y+z\right)^3}=4\)

\(\Rightarrow\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)\(\ge2\cdot3+2\cdot4=14\)

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z=\frac{1}{3}\\2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\end{cases}}\)

hệ này vô nghiệm nên bât không trở thành đẳng thức

vậy bất đẳng thức được chứng minh

2) ta có \(\frac{x^3}{y^3+8}+\frac{y+2}{27}+\frac{y^2-2y+4}{27}\ge\frac{x}{3}\Rightarrow\frac{x^3}{y^3+8}\ge\frac{9x+y-y^2-6}{27}\)

tương tự ta có: \(\frac{y^3}{z^3+8}\ge\frac{9y+z-z^2-6}{27},\frac{z^3}{x^3+8}\ge\frac{9z+x-x^2-6}{27}\)nên

\(VT\ge\frac{10\left(x+y+z\right)-\left(x^2+y^2+z^2\right)-18}{27}=\frac{12-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{27}\)mà ta lại có 

\(\frac{12-\left(x^2+y^2+z^2\right)27}{27}=\frac{3+\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{27}=\frac{1}{9}+\frac{2}{27}\left(xy+yz+zx\right)\)

từ đó ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1

Đk: $x\geq \frac{1}{2}$

Pt $\Leftrightarrow 4x^2+3x-7=4(\sqrt{x^3+3x^2}-2)+2(\sqrt{2x-1}-1)$

$\Leftrightarrow +4\frac{(x-1)(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+4\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}+1}-(x-1)(4x+7)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)[\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-(4x+7)]=0$

$\Leftrightarrow x=1\vee \frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7=0$ $(*)$

Xét hàm số $f(x)=\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7,x\in [\frac{1}{2};+\infty )$ thì $f(x)>0,\forall x\in [\frac{1}{2};+\infty )$

$\Rightarrow $ Pt $(*)$ vô nghiệm