với a,b dương ta có:
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)ab}\ge\frac{4ab}{\left(a+b\right)ab}\Rightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
dấu "=" xảy ra khi a=b
Áp dụng BĐT trên ta có:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{xy+xz}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\)
Mà x+y+z=4 nên y+z=4-x>0
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{x\left(4-x\right)}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{-x^2+4x-4+4}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{-\left(x-2\right)^2+4}\)(*)
vì y+z=4-x>0 nên x(4-x)>0.Suy ra \(4\ge-\left(x-2\right)^2+4>0\)
Do đó \(\frac{4}{-\left(x-2\right)^2+4}\ge1\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=2\\xy=yz\\x+y+z=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}}\)(thỏa mãn đk x,y,z>0)
Thiên Ngoại Phi Tiên đừng chép bài tao nữa tao xin mày đấy
bài này kết hợp bunhia với cosi . 1/a +1/b>=4/a+b . ta cm cái này bằng bdt bunhia
