Ta có:

0 < a < 1 ⇒ a - 1 < 0 ⇒ a(a - 1) < 0 ⇒ a2 - a < 0 (1)

Tương tự:

0 < b < 1 ⇒ b2 - b < 0 (2)

0 < c < 1 ⇒ c2 - c < 0 (3)

Cộng (1); (2); (3) vế theo vế ta được:

a2 + b2 + c2 - a - b - c < 0

⇔ a2 + b2 + c2 < a + b + c

⇔ a2+ b2 + c2 < 2 (do a + b + c = 2)

Rất khủng khiếp (tại cái chương trình của em nó xấu:v) nhưng nó là một cách chứng minh:

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\frac{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2\ge\frac{27\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)

Sau khi quy đồng, ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:

Hiển nhiên đúng vì \(x=min\left\{x,y,z\right\}\)

Ai giúp gấp nhé:D

Ta có : a² + b² = c² + d²

a² + b² + c² + d² = 2 ( a² + b² ) ⋮2 nên là hợp số

Ta có : a² + b² + c² + d² - ( a + b + c + d ) 

= a ( a - 1 ) + b ( b - 1 ) + c ( c - 1 ) + d ( d - 1 ) ⋮2

a + b + c + d ⋮2 nên cũng là hợp số

Ta có: \(a^2+b^2=c^2+d^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+b^2=a^2+b^2+c^2+d^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)=a^2+b^2+c^2+d^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\) là chẵn

Xét hiệu: \(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\)

Mà tích 2 số TN liên tiếp là chẵn

⇒ Tổng a+b+c+d là chẵn

Vì \(a+b+c+d>2\) với mọi số TN a,b,c,d khác 0

⇒ a+b+c+d là hợp số

\(DPCM\Leftrightarrow P=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\le\frac{108}{529}\)

Ta có: \(0\le a\le b\le c\le1\Rightarrow a^2\left(b-c\right)\le0\left(1\right)\)

\(b^2\left(c-b\right)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\left(c-b\right)\le4\left(\frac{\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b}{3}\right)^3=\frac{4c^3}{27}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{4c^3}{27}+c^2\left(1-c\right)=c^2\left(1-\frac{23c}{27}\right)=\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}\left(1-\frac{23c}{27}\right).\frac{54^2}{23^2}\)

Tiếp

\(\le\left(\frac{\frac{23c}{54}+\frac{23c}{54}+1-\frac{23c}{27}}{3}\right)^3.\frac{54^2}{23^2}=\frac{1}{27}.\frac{54^2}{23^2}=\frac{108}{529}\)

Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2\left(b-c\right)=0\\\frac{b}{2}=c-b\\\frac{23c}{54}=1-\frac{23c}{27}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=\frac{2}{3}c\\c=\frac{18}{23}\end{cases}}\)

Từ a+b+c=6 \(\Rightarrow\)a+b=6-c

Ta có: ab+bc+ac=9\(\Leftrightarrow\)ab+c(a+b)=9

                               \(\Leftrightarrow\)ab=9-c(a+b)

           Mà a+b=6-c (cmt)

                                \(\Rightarrow\)ab=9-c(6-c)

                                \(\Rightarrow\)ab=9-6c+c²

Ta có: (b-a)²\(\ge\)0 \(\forall\)b, c

  \(\Rightarrow\)b²+a²-2ab\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)(b+a)²-4ab\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)(a+b)²\(\ge\)4ab

Mà a+b=6-c (cmt)

         ab= 9-6c+c² (cmt)

  \(\Rightarrow\)(6-c)²\(\ge\)4(9-6c+c²)

  \(\Rightarrow\)36+c²-12c\(\ge\)36-24c+4c²

  \(\Rightarrow\)36+c²-12c-36+24c-4c²\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)-3c²+12c\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)3c²-12c\(\le\)0

  \(\Rightarrow\)3c(c-4)\(\le\)0

  \(\Rightarrow\)c(c-4)\(\le\)0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}}\)hoặc\(\hept{\begin{cases}c\le0\\c-4\ge0\end{cases}}\)

*\(\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c\le4\end{cases}\Leftrightarrow}0\le c\le4}\)

*

Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)