Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn \(a+b+c=3\)
Tìm GTNN của \(S=\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\)
Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b=1.Tìm GTNN của bt sau
\(a,A=\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\)
\(b,B=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\)
Bài 2:Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a+b+c=9.tìm GTNN của bt
\(a,A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\) \(b,B=\frac{a^3}{c^2+b^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\)
Bai 3:Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn \(x^2+y^2=4\) Tìm GTNN của bt \(A=\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{x}\right)^2\)
Bài 4 Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm GTLN của bt
\(a,A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\) \(b,B=\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\)
1a
\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)
\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)
1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)
\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 2 Dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel là ra:D
Bài 3:Đừng vội dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel ngay kẻo bị phức tạp:v Thay vào đó hãy khai triển nó ra:
\(A=x^2+y^2+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)
\(\ge4+2.2+\frac{4}{x^2+y^2}=4+4+1=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\sqrt{2}\)
Bài 4: Dùng Cauchy or Bunhiacopxki là ok!
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\). Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\)
cho a,bc là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3
Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
Gọi \(S=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Dễ thấy \(P-S=0\)
\(\Rightarrow2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Ta chứng minh:
\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2P\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=2\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) . Tìm GTNN của \(P=\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}\)
\(P=\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}+2-2=\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-2\)
\(=\left(\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)+\left(\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)-2\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương:
\(\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^3}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}}=\frac{3}{b}\)
\(\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^2}{c^3}.\frac{1}{b}.\frac{1}{b}}=\frac{3}{c}\)
\(\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{c^2}{a^3}.\frac{1}{c}.\frac{1}{c}}=\frac{3}{a}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{b}+\frac{3}{c}+\frac{3}{a}-2=3-2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\) thì
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\P=\frac{y^3}{x^2}+\frac{z^3}{y^2}+\frac{x^3}{z^2}\end{cases}}\)
Ta có:
\(\frac{x^3}{z^2}+z+z\ge3x,\frac{y^3}{x^2}+x+x\ge3y,\frac{z^3}{y^2}+y+y\ge3z\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{z^2}\ge3x-2z,\frac{y^3}{x^2}\ge3y-2x,\frac{z^3}{y^2}\ge3z-2y\)
\(\Rightarrow P\ge3x-2z+3y-2x+3z-2y=x+y+z=1\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3.Tìm GTNN của \(S=\sqrt[3]{\frac{a^2}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b^2}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c^2}{a}}\)
P/s:Bài này là em chế thử, em chưa có giải nên không biết có đúng không nữa
Đề chế sai rồi nhé! Cho dù là số 2 ở dưới mẫu của hay là đó là chữ a thì bài này vẫn không có min!
Tra Wolfram|Alpha để kiểm tra tính đúng đắn trước khi đăng nha! Trong wolfram alpha chỉ quan trọng ở chỗ (Global minima thôi, nó mà ra: "(no global minima found)" thì đề này sai đấy, cho dù bên dưới nó hiện cái gì đi nữa:))
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm GTNN của M=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\left(a+b+c\right)\)
Ở đây ít người lớp 9 lắm
Từ đề bài suy ra \(0< a,b,c< \sqrt{3}\). Khi đó: \(M-9=\Sigma_{cyc}\frac{\left(2-a\right)\left(a-1\right)^2}{2a}\ge0\)
#Chuyên mục bất đẳng thức khởi động bước vào năm học mới#
Bài toán 41: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn\(a+b-c\ge0;b+c-a\ge0;c+a-b\ge0\)và \(\left(a+b+c\right)^2=4\left(ab+bc+ca-1\right)\)
Tìm GTNN của biểu thức \(S=\sqrt{\frac{a+b}{c}-1}+\sqrt{\frac{b+c}{a}-1}+\sqrt{\frac{c+a}{b}-1}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2-2}}\)
Bài toán 46: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn\(\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}=\sqrt{\frac{ab}{c}}\)
Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\)
Bài toán số 41 có 2 cách làm, tôi làm cách thứ 2
Đặt \(Q=\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)\(\Rightarrow Q^2=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+2\left(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\right)\)ta thấy rằng \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+\frac{xyz}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(\sqrt{\frac{yx}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yx}{2\sqrt{\left(xy+yz\right)\left(yz+yx\right)}}\ge\frac{2xy}{2xy+yz+xz}\ge\frac{2xy}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy}{xy+yz+zx}\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\ge\frac{yz}{xy+yz+zx}\\\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge\frac{xz}{xy+yz+zx}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge1\)nên \(Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+2}\)
\(\Rightarrow Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Đặt \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow t\ge\sqrt{xy+yz+zx}=2\)
Xét hàm số g(t)=\(\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}+\frac{4}{t}\left(t\ge2\right)\)khi đó ta có
\(g'\left(t\right)=\frac{t}{2\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}}-\frac{4}{t^2};g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^6-32t^2-256=0\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}\)
Lập bảng biến thiên ta có min[2;\(+\infty\)) \(g\left(t\right)=g\left(2\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\)
Hay minS=\(3\sqrt{2}\)<=> a=c=1; b=2
Đặt a=xc; b=cy (x;y >=1)
Thay x=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{b-c}=\sqrt{b}\Rightarrow c=0\) (không thỏa mãn vì c>0)Thay y=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{a-c}=\sqrt{a}\Rightarrow c=0\)( không thỏa mãn vì c>0)Xét x,y>1 thay vào giả thiết ta có\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\Leftrightarrow xy=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge4\)
Biểu thức P được viết lại như sau
\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\frac{xy}{3}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2y^2-2xy}=\frac{x^3y^3-2x^2y^2+3xy-3}{3\left(x^2y^2-2xy\right)}\)
Đặt t=xy với t>=4
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^3-2t^2+3t-3}{t^2-2t}\left(t\ge4\right)\)
Ta có \(f'\left(t\right)=\frac{t^4-4t^3+t^2+6t-6}{\left(t^2-2t\right)^2}=\frac{t^3\left(t-4\right)+6\left(t-4\right)+18}{\left(t^2-2t\right)^2}>0\forall t\ge4\)
Lập bảng biến thiên ta có \(minf\left(t\right)=f\left(4\right)=\frac{41}{8}\)
Vậy \(minP=\frac{41}{24}\)khi x=y=z=2 hay a=b=2c
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm GTNN của
\(M=\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4\)
\(Ta có: \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }}\mathop \ge \frac{{3a^2 }}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} \ge \frac{{3a^2 }}{2} - (\frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }})\)
\(Do đó: \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} \ge \frac{{3a^2 }}{2} - \frac{{\sqrt {2a(b^3 + c^2 )} }}{2}\mathop \ge \frac{{3a^2 }}{2} - \frac{{2a + b^3 + c^2 }}{4}\)
\(CMTT \frac{{b^5 }}{{c^3 + a^2 }}\mathop \ge \frac{{3b^2 }}{2} - \frac{{2b + c^3 + a^2 }}{4}\), \(\frac{{c^5}}{{a^3+b^2}}\mathop \ge \frac{{3c^2 }}{2} - \frac{{2c + a^3 + b^2 }}{4}\)
\(M \ge \frac{{3(a^2 + b^2 + c^2 )}}{2} + a^4 + b^4 + c^4 - \frac{{2(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2 ) + (a^3 + b^3 + c^3 )}}{4}\)
\(M \ge \frac{9}{2} + a^4 + b^4 + c^4 - \frac{{2(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2 ) + (a^3 + b^3 + c^3 )}}{4}\)
Áp dụng Bunhiacoopski ta có:
\(\sqrt {(a^4+b^4+c^4 )(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt {(a^4 +b^4+ c^4 ).3}\ge a^3+b^3+c^3 \)
\(\sqrt {(a^4 + b^4 + c^4 )(1 + 1 + 1)} = \sqrt {(a^2 + b^2 + c^2 ).3} \ge a^2 + b^2 + c^2 \Leftrightarrow a^4 + b^4 + c^4 \ge 3\)
Ta có: \(3 = a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{{(a + b + c)^2 }}{3} \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge a + b + c\)
\(Đặt t=x^4+y^4+z^4 (t \ge 3) cần CM để trở thành S \ge \frac{{4t - 9 - \sqrt {3t} }}{4}\ge 0\)
\(Ta có: S\ge \frac{{4t - 9 - \sqrt {3t} }}{4} = \frac{{3(t - 3) + \sqrt t (\sqrt t - \sqrt 3 )}}{4} \ge 0
\)
\(Do đó: M\geq \frac{9}{2}\)
Phần đầu mình thiếu nha
\(\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}\ge\frac{3a^2}{2}\)
=> \(\frac{a^5}{b^3+c^2}\ge\frac{3a^2}{2}-\left(\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}\right)\)
Do đó \(\frac{a^5}{b^3+c^2}\ge\frac{3a^2}{2}-\frac{\sqrt{2a\left(b^3+c^2\right)}}{2}\ge\frac{3a^2}{2}-\frac{\left(2a+b^3+b^2\right)}{4}\)
CMTT \(\frac{b^5}{c^3+a^2}\ge\frac{3b^2}{2}-\frac{\left(2b+c^3+a^2\right)}{4},\frac{c^5}{a^3+b^2}\ge\frac{3c^2}{2}-\frac{\left(2c+a^3+b^2\right)}{4}\)
Ta có:
\(\dfrac{a^5}{b^3+c^2}+\dfrac{b^3+c^2}{4}+\dfrac{a}{2}\ge\dfrac{3a^2}{2}\)
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+a^4+b^4+c^4-\dfrac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2+a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\dfrac{5}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{4}{3}\left(a^3+b^3+c^3\right)-1-\dfrac{1}{4}\left(a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{13}{12}\left(a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{7}{4}\)
\(=\dfrac{5}{4}+\dfrac{13}{12}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\ge\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{13}{12}\left(a^2+b^2+c^2-1\right)=\dfrac{9}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\) 1 tìm GTNN của P = \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)
Từ giả thiết và BĐT AM-GM suy ra:\(\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)\(\ge\)3
Ta có:
P\(\ge\)\(\frac{2a^3}{3\left(a^2+b^2\right)}\)+\(\frac{2b^3}{3\left(c^2+b^2\right)}\)+\(\frac{2c^3}{3\left(a^2+c^2\right)}\)
=\(\frac{2}{3}\)(\(\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{\left(a^2+b^2\right)}\)+\(\frac{b\left(c^2+b^2\right)-bc^2}{\left(c^2+b^2\right)}\)+\(\frac{a\left(a^2+c^2\right)-ca^2}{\left(a^2+c^2\right)}\))
=\(\frac{2}{3}\)(a+b+c-\(\frac{ab^2}{\left(a^2+b^2\right)}\)-\(\frac{bc^2}{\left(c^2+b^2\right)}\)-\(\frac{ca^2}{\left(a^2+c^2\right)}\))
\(\ge\)\(\frac{2}{3}\)(a+b+c-\(\frac{a}{2}\)-\(\frac{b}{2}\)-\(\frac{c}{2}\))
=\(\frac{2}{3}\).\(\frac{a+b+c}{2}\)=\(\frac{a+b+c}{3}\)=\(\frac{\left(a+1\right)+\left(b+1\right)+\left(c+1\right)}{3}\)-1
\(\ge\)\(\frac{3\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}{3}\)-1\(\ge\)2
Vậy:MinP=2 khi a=b=c=2
cách này dễ hiểu hơn nè :
Áp dụng BĐT : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
Ta có : \(1\ge\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)\(\Leftrightarrow a+b+c+3\ge9\)\(\Leftrightarrow a+b+c\ge6\)
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a\left(a^2+ab+b^2\right)-ab^2-a^2b}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab^2+a^2b}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}\)
Tương tự : \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge b-\frac{b+c}{3}\); \(\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge c-\frac{a+c}{3}\)
Cộng cả 3 vế , ta được : \(P\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{3}.6=2\)
Vậy GTNN của P là 2 \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)