Cho đường tròn tâm O, bán kính AB = 2R. Gọi d₁, d₂ lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn O tại A và B. I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là điểm thay đổi trên đường tròn O sao cho E không trùng với A và B. Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI, cắt 2 đường thẳng d₁, d₂ tại M và N.

1. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh IB.NE = 3.IE.NB

3. Khi E thay đổi, chứng minh tích AM.BN có giá trị không đổi và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MNI theo R

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E. Tìm khẳng định sai

A. Tứ giác OACM là tứ giác nội tiếp.

B. Tứ giác OBDM là tứ giác nội tiếp

C. Tứ giác ACDB là hình thang vuông

D. Tứ giác ACDO là tứ giác nội tiếp

cho nửa đường tròn ( O;R ) đường kính MN  . Từ điểm A tùy ý thuộc nửa đường tròn (O) ( A khác M,N ) vẽ tiếp tuyến d với nửa đường tròn (O) . Gọi E,F là hình chiếu của M và N trên đường thẳng d . Gọi H là hình chiếu của A trên MN 
a) Chứng minh 4 điểm M , E , H ,A  cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh MA là tia phân giác góc EMO và tam giác EHF vuông 
c) Xác định vị trí của A trên nửa đường tròn (O) để diện tích của tứ giác MNFE lớn nhất

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d, và d, lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của C. . và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng đ), d, lần lượt tại M, N. a) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh ENI=EBI và MIN = 90. c) Chứng minh AM.BN = AI.BI d) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, L, F thẳng hàng. Giúp e câu b,c,d ạ.

:Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. D là 1 điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn (D khác A và D khác B). Các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) tại A và D cắt nhau ở C, BC cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Kẻ DF vuông góc với AB tại F.

a) Chứng minh: Tứ giác OACD nội tiếp.

b) Chứng minh: CD^2 = CE.CB

c) Chứng minh: Đường thẳng BC đi qua trung điểm của DF.

bài 1: cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Từ điểm M bất kỳ thuộc nửa đường tròn, kẻ MN vuông góc với AB (N ∈ AB; M khác A; M khác B). từ N kẻ ND và NE lần lượt vuông góc với AM và BM (D ∈ AM, E ∈ BM).

a, Tứ giác DMEN là hình gì? Chứng minh.

b, Chứng minh DM . AM = EM . BM

c, Gọi O’ là tâm đường tròn đường kính NB. chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O’).

d, Gọi I là điểm đối xứng với N qua D; gọi K là điểm đối xứng với N qua E. Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để tứ giác AIKB có chu vi lớn nhất.