bgcfd

A=1/2*3/4*..*99/100

=>A<2/3*4/5*6/7*...*100/101

=>A^2<2/3*4/5*...*100/101*1/2*3/4*...*99/100

=>A^2<1/101<1/100

=>A<1/10

 \(A=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{6}...\dfrac{99}{100}\)

\(A< \left(\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{6}...\dfrac{99}{100}\right).\left(\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{6}{7}...\dfrac{98}{99}\right)\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{5}{6}.\dfrac{6}{7}...\dfrac{98}{99}.\dfrac{99}{100}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{1.2.3.4.5.6...98.99}{2.3.4.5.6.7...99.100}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{10}\)

Vậy \(A< \dfrac{1}{10}\)

đặt \(B=\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{98}{99}.\frac{100}{100}\Leftrightarrow A

đường cong parabol

Ta có: \(\frac{a}{b}\)luôn bé hơn \(\frac{a+n}{b+n}\)nếu a < b (a ; b ; thuộc Z ; n thuộc N*)

Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số trên, ta có:

\(A< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.\left(...\right).\frac{100}{101}\)

=>\(A^2< \frac{1.2.3.\left(...\right).100}{2.3.4.\left(...\right).101}=\frac{1}{101}\)(nhân cả 2 vế cho A)

Quy tắc:\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}\)

=>\(A^2< \frac{1}{101}< \frac{1}{100}=\frac{1^2}{10^2}=\left(\frac{1}{10}\right)^2\)

=>\(A< \frac{1}{10}\)                                (1)

Giữ nguyên \(\frac{1}{2}\), bớt đi ở tử và mẫu của các phân số còn lại, ta có:

\(A>\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\left(...\right).\frac{98}{99}\)

=>\(A^2>\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\left(...\right)\frac{99}{100}\)(nhân cả 2 vế cho A)

=>\(A^2>\frac{1}{2}.\frac{1.2.3.\left(...\right).99}{2.3.4.\left(...\right).100}=\frac{1}{2}.\frac{1}{100}=\frac{1}{200}\)

Mà\(\left(\frac{1}{15}\right)^2=\frac{1}{225}< \frac{1}{200}< A^2\)

=>\(\frac{1}{15}< A\)                            (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{15}< A< \frac{1}{10}\)(đpcm)