Do n + 3 và n + 120 đều là số chính phương nên

\(\begin{cases}n+3=a^2\\n+120=b^2\end{cases}\) \(\left(a;b\in N;a>1;b>11\right)\)

=> (n + 120) - (n + 3) = a² - b²

=> a² - b² = n + 120 - n - 3

=> (a - b).(a + b) = 117

=> a - b và a + b cùng lẻ mà a - b < a + b; a + b > 12

=> \(\begin{cases}a-b=1\\a+b=117\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a-b=3\\a+b=39\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a-b=9\\a+b=13\end{cases}\)

Các cặp giá trị (a;b) tương ứng là: (58;59) ; (18;21) ; (2;11)

Các giá trị n tương ứng là: 3361; 321; 1

Vậy \(n\in\left\{3361;321;1\right\}\)

=> n+5 và n+30 là 2 số chình phương liền nhau:

Ta có: a²-b²= 25

=> (a-b)(a+b)=25 ; giả sử a=b+1 ( 2 số liên tiếp) thì:

=>(b+1-b)(b+1+b )=25

=>2b=24 => b=12; => a=13

=> a²=169; b²=144

=>n= 144-5=169-30=139;

CHÚC BẠN HỌC TỐT..........

Với n+5 và n+30 là số chính phương

\(\left\{{}\begin{matrix}n+5=a^2\\n+30=b^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n+5-n-30=a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)=-25\)

Mà -25=-5.5=-1.25=-25.1

Giờ bn lập bảng các gt của a và b là đc

ta có 

\(\hept{\begin{cases}n-7=a^2\\n+16=b^2\end{cases}\Rightarrow b^2-a^2=23\Leftrightarrow\left(b+a\right)\left(b-a\right)=23}\)

 dễ thấy n phải lớn hơn 7 và b>a nên ta có \(\hept{\begin{cases}a+b=23\\b-a=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=11\\b=12\end{cases}\Rightarrow}n=128}\)

Đặt n + 1945 = a² (1) (a là số tự nhiên) 
Đặt n + 2004 = b² (2) (b là số tự nhiên) 
Do (n + 2004) > (n + 1945) 
=> b² > a² 
=> b > a (Do a và b là số tự nhiên) 
Từ (1) và (2) => b² - a² = (n + 2004) - (n + 1945) 
<=> (b + a)(b - a) = n + 2004 - n - 1945 
<=> (b + a)(b - a) = 59 
=> (b + a) và (b - a) là ước tự nhiên của 59 
Ta có ước tự nhiên của 59 là các số: 1;59 (59 là số nguyên tố) Kết hợp với (b + a) > (b - a) (do a và b là số tự nhiên) ta có: 
b + a = 59 (3) và b - a = 1 (4) 
cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: 
(b + a) + (b - a) = 59 + 1 
<=> b + a + b - a = 60 
<=> 2b = 60 
<=> b = 30 
Thay b = 30 vào (2) ta được 
n + 2004 = 30²
<=> n + 2004 = 900 
<=> n = 900 - 2004 
<=> n = -1104 
Vậy với n = -1104 thì n+ 1945 và n + 2004 đều chính phương

Đặt n + 1945 = a² (1) (a là số tự nhiên) 
Đặt n + 2004 = b² (2) (b là số tự nhiên) 
Do (n + 2004) > (n + 1945) 
=> b² > a² 
=> b > a (Do a và b là số tự nhiên) 
Từ (1) và (2) => b² - a² = (n + 2004) - (n + 1945) 
<=> (b + a)(b - a) = n + 2004 - n - 1945 
<=> (b + a)(b - a) = 59 
=> (b + a) và (b - a) là ước tự nhiên của 59 
Ta có ước tự nhiên của 59 là các số: 1;59 (59 là số nguyên tố) Kết hợp với (b + a) > (b - a) (do a và b là số tự nhiên) ta có: 
b + a = 59 (3) và b - a = 1 (4) 
cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: 
(b + a) + (b - a) = 59 + 1 
<=> b + a + b - a = 60 
<=> 2b = 60 
<=> b = 30 
Thay b = 30 vào (2) ta được 
n + 2004 = 30²
<=> n + 2004 = 900 
<=> n = 900 - 2004 
<=> n = -1104 
Vậy với n = -1104 thì n+ 1945 và n + 2004 đều chính phương

Đoán Mò + Suy Nghĩ = Kết Quả .

cách làm thì sao vậy bạn

( bạn đoán mò hả)

Đặt : n + 35 = a²; n - 4 = b²

=> a² - b² = 36 => (a-b)(a+b) = 36

=> a- b thuộc Ư(36) = {1; 2; 3; 4;6;9;12;18;36}

Trường hợp: a - b =1 => a+ b = 36 

=> (a-b) + (a+b) = 2a = 1+ 36 = 37 => a = 37/2 => loại

Các trường hợp còn lại: tương tự

-Vì \(n+1,n+13\) là các số chính phương nên đặt \(n+1=a^2,n+13=b^2\)

\(\Rightarrow b^2-a^2=n+13-\left(n+1\right)=12\)

\(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(b+a\right)=12=\left[{}\begin{matrix}1.12\\2.6\\3.4\end{matrix}\right.\)

-Vì \(b-a< b+a\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b-a=1;b+a=12\\b-a=2;b+a=6\\b-a=3;b+a=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=\dfrac{13}{2};a=\dfrac{11}{2}\left(loại\right)\\b=4;a=2\left(nhận\right)\\b=\dfrac{7}{2};a=\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

-Vậy \(n=3\) thì n+1 và n+12 đều là các số chính phương.