1: Xét tứ giác OBPC có

\(\widehat{OBP}+\widehat{OCP}=90^0+90^0=180^0\)

=>OBPC là tứ giác nội tiếp

=>O,B,P,C cùng thuộc một đường tròn

2: Xét (O) có

PC,PB là các tiếp tuyến

Do đó: PC=PB

=>P nằm trên đường trung trực của CB(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OP là đường trung trực của BC

=>OP\(\perp\)BC

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB

Ta có: AC\(\perp\)CB

OP\(\perp\)CP

Do đó: AC//OP

1:

Ta có: ΔABC vuông tại C

mà ΔCAB nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của AB

Xét tứ giác OBDC có \(\widehat{OBD}+\widehat{OCD}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBDC là tứ giác nội tiếp

=>O,B,D,C cùng thuộc một đường tròn

Xét (O) có

DC,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DC=DB

=>D nằm trên đường trung trực của CB(1)

Ta có: OC=OB

=>O nằm trên đường trung trực của CB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OD là đường trung trực của CB

=>OD\(\perp\)CB

Ta có: AC\(\perp\)CB

CB\(\perp\)OD

Do đó: OD//AC

2: Xét (O) có

ΔBEA nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔBAE vuông tại E

=>BE\(\perp\)EA tại E

=>BE\(\perp\)AD tại E

Xét ΔBAD vuông tại B có BE là đường cao

nên \(DE\cdot DA=DB^2\left(3\right)\)

Xét ΔDOB vuông tại B có BH là đường cao

nên \(DH\cdot DO=DB^2\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(DE\cdot DA=DH\cdot DO\)

a: Xet ΔBAD vuông tại A và ΔBMD vuông tại M có

BD chung

góc ABD=góc MBD

=>ΔBAD=ΔBMD

b: AD=DM

DM<DC

=>AD<CD

c: Xét ΔDAK vuông tại A và ΔDMC vuông tại M có

DA=DM

góc ADK=góc MDC

=>ΔDAK=ΔDMC
=>AK=MC: DK=DC
=>ΔDKC cân tại D; BK=BC

=>ΔBKC can tại B

mà BN là phân giác

nên BN vuông góc KC

b: Xét ΔDEM và ΔDFM có 

DE=DF

\(\widehat{EDM}=\widehat{FDM}\)

DM chung

Do đó: ΔDEM=ΔDFM

c: Xét ΔDEF có

DM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: D,G,M thẳng hàng

Bài 4: 

a: \(BC=\sqrt{8^2+6^2}=10\left(cm\right)\)

b: Xét ΔEDB có 

EA là đường cao

EA là đường trung tuyến

Do đó:ΔEDB cân tại E

Xét ΔCDB có

CA là đường cao

CA là đường trung tuyến

Do đó: ΔCDB cân tại C

Xét ΔCDE và ΔCBE có 

CD=CB

ED=EB

CE chung

Do đó: ΔCDE=ΔCBE

c: Xét ΔCDB có 

CA là đường trung tuyến

CE=2/3CA

Do đó: E là trọng tâm của ΔCDB

Suy ra: DE đi qua trung điểm của BC

a: XétΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tạiK có

góc A chung

=>ΔAHB đồng dạng với ΔAKC

b: góc BKC=góc BHC=90 độ

=>BKHC nội tiếp

=>góc AKH=góc ACB

mà góc A chung

nên ΔAKH đồng dạng với ΔACB

Chứng minh gì vậy bạn?