\(x^2-\left(3m-2\right)x+2m\left(m-2\right)<0\) (1)

Tam thức bậc hai ở (1) luôn có hai nghiệm \(x_1=2m\)

và \(x_2=m-2\) với mọi \(m\in R\) Từ đó ta có 

- Khi 2m<m-2 hay m<-2 thì (1) có nghiệm 2m<x<m-2

- Khi 2m=m-2 hay m=-2 thì (1) vô nghiệm 

- Khi 2m>m-2 hay m>-2 thì (1) có nghiệm m-2<x<2m

\(\left(m-1\right)x^2-2mx+3m-2>0\) (1)

- Nếu \(m=1\)   thì (1) có dạng \(-2x+1>0\)    nên có nghiệm \(x<\frac{1}{2}\)

- Nếu \(m\ne1\)   thì (1) là bất phương trình bậc 2 với \(a=m-1\)  và biệt thức \(\Delta'=-2m+5m-2\) 

Trong trường hợp \(\Delta'\ge0\)

ta kí hiệu 

\(x_1:=\frac{m-\sqrt{\Delta'}}{m-1}\)    ; \(x_2:=\frac{m+\sqrt{\Delta'}}{m-1}\)     \(d:=x_2-x_1=\frac{2\sqrt{\Delta'}}{m-1}\)

Lập bảng xét dấu ta được

+ Nếu \(m\le\frac{1}{2}\)   thì \(a<0\)    ; \(\Delta'\le0\)

nên (1) vô nghiệm

+ Nếu \(\frac{1}{2}\) <m< 1 thi a<0; \(\Delta'>0\)

\(d\ge0\) nên (1) \(\Leftrightarrow\) x<\(x_1\)  hoặc \(x_2\)<x

+ Nếu m>2 thì a>0; \(\Delta'<0\)

nên (1) có tập nghiệm T(1)=R.

Ta có kết luận :

* Khi \(m\le\frac{1}{2}\) thì (1) vô nghiệm

* Khi \(\frac{1}{2}\) <m<1 thì (1) có nghiệm

\(\frac{m+\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\) <x<\(\frac{m-\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\)

* Khi m=1 thì (1) có nghiệm \(x<\frac{1}{2}\)

* Khi 1<m\(\le\) 2 thì (1) có tập nghiệm

T(1) = \(\left(-\infty;\frac{m-\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\right)\cup\left(\frac{m+\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\right);+\infty\)

* Khi m>2 thì (1) có nghiệm là mọi x\(\in R\)

Với \(m=-1\Leftrightarrow4x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{4}\)

Với \(m=1\Leftrightarrow1=0\Leftrightarrow x\in\varnothing\)

Với \(m\ne\pm1\)

\(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(m^2+1\right)\\ \Delta=4m^2-8m+4-4m^2-4\\ \Delta=-8m\)

PT vô nghiệm \(\Leftrightarrow-8m< 0\Leftrightarrow m>0\)

PT có nghiệm kép \(\Leftrightarrow-8m=0\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(x=\dfrac{2\left(m-1\right)}{2\left(m^2-1\right)}=\dfrac{1}{m+1}\)

PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-8m>0\Leftrightarrow m< 0\)

Khi đó \(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2\left(m-1\right)-\sqrt{-8m}}{2\left(m^2-1\right)}\\x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)+\sqrt{-8m}}{2\left(m^2+1\right)}\end{matrix}\right.\)

\(\begin{cases}\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\ge0\\x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\le0\end{cases}\)  (1)

Xét các bất phương trình thành phần

\(\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\ge0\)  (a)

\(x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\le0\)  (b)

Ta có T(1)=T(a)\(\cap\) T(b)

Lập bảng xét dấy 

\(f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\)

Từ bảng xét dấu ta được T(a) = \(\left[-1;1\right]\cup\left[2;+\infty\right]\)

Từ : \(x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\) ta có các nghiệm x= a; x=2a+1

- Nếu \(a\le2a+1\Leftrightarrow a\ge-1\) thì T(b) = \(\left[a;2a+1\right]\)

Xét các trường hợp sau :

         + Trường hợp 1 :

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\-1\le2a+1\le1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\0\le a\le0\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(-1\le a\le0\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;2a+1\right]\)

          + Trường hợp 2 

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\1<2a+1<2\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\a\in\left\{0;\frac{1}{2}\right\}\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(-1\le a\le0\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;1\right]\)

    + Trường hợp 3 

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\2\le2a+1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\\frac{1}{2}\le a\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\frac{1}{2}\le a\le1\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;1\right]\cup\left[2;2a+1\right]\)

   + Trường hợp 4

   1<a<2 suy ra 2a+1>3>2. Khi đó ta có Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[2;2a+1\right]\)

   + Trường hợp 5 :

   a\(\ge\)2 suy ra 2a+1 \(\ge\) a \(\ge\) 2. Khi đó T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;2a+1\right]\)

- Nếu 2a+1<a \(\Leftrightarrow\) a<-1 thì T(b) = \(\left[a;2a+1\right]\)

Khi đó ta có T(a)\(\cap\) T(b) = \(\varnothing\) nên (1) vô nghiệm

Từ đó ta kết luận :

+ Khi a<-1 hệ vô nghiệm T(1) =\(\varnothing\)

+  Khi \(-1\le a\le0\) hoặc \(a\ge2\) hệ có tập nghiệm T (1) = \(\left[a;2a+1\right]\)

+ Khi 0<a<\(\frac{1}{2}\)  hệ có tập nghiệm T(1) = \(\left[a;1\right]\)

+ Khi \(\frac{1}{2}\)\(\le\)a \(\le\)1 hệ có tập nghiệm T(1) = \(\left[a;1\right]\cup\left[2;2a+1\right]\)

+ Khi 1<a<2, hệ có tập nghiệm T(1) =\(\left[2;2a+1\right]\)

Vì hai bài giống nhau nên anh sẽ làm mẫu bài 1 nhé.

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=m+5\\\left(m-1\right)x-my=3m-1\end{matrix}\right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{2}{m-1}\ne\dfrac{-1}{-m}\)

=>\(\dfrac{2}{m-1}-\dfrac{1}{m}\ne0\)

=>\(\dfrac{2m-m+1}{m\left(m-1\right)}\ne0\)

=>\(\dfrac{m+1}{m\left(m-1\right)}\ne0\)

=>\(m\notin\left\{0;1;-1\right\}\)

Để hệ có phương trình có vô số nghiệm thì \(\dfrac{2}{m-1}=\dfrac{-1}{-m}=\dfrac{m+5}{3m-1}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{m-1}=\dfrac{1}{m}\\\dfrac{2}{m-1}=\dfrac{m+5}{3m-1}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2m=m-1\\2\left(3m-1\right)=\left(m+5\right)\left(m-1\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\m^2+4m-5=6m-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\m^2-2m-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-1\)

Để hệ phương trình vô nghiệm thì \(\dfrac{2}{m-1}=\dfrac{-1}{-m}\ne\dfrac{m+5}{3m-1}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{m-1}=\dfrac{-1}{-m}\\\dfrac{2}{m-1}\ne\dfrac{m+5}{3m-1}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2m=-m+1\\2\left(3m-1\right)\ne\left(m-1\right)\left(m+5\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-m=1\\m^2+4m-5\ne6m-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\m^2-2m-3\ne0\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\varnothing\)

a) \(m\left(m-6\right)x+m=-8x+m^2-2\)
\(\Leftrightarrow x\left(m^2-6m+8\right)=m^2-m-2\)
- Xét \(m^2-6m+8=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=2\end{matrix}\right.\)
Th1. Thay \(m=4\) vào phương trình ta có:
\(0.x=10\) (vô nghiệm)
Th2. Thay \(m=2\) vào phương trình ta có:
\(0.x=0\) (luôn đúng với mọi \(x\in R\))
- Xét: \(m^2-6m+8\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne4\\m\ne2\end{matrix}\right.\)
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất là:
\(x=\dfrac{m^2-m-2}{m^2-6m+8}\)
Biện luận:
- \(m=4\) phương trình vô nghiệm.
- \(m=2\) phương trình luôn có nghiệm.
- \(m\ne4\) và \(m\ne2\) phương trình có nghiệm duy nhất là:
\(x=\dfrac{m^2-m-2}{m^2-6m+8}\)

b) Đkxđ: \(x\ne-1\)
\(\dfrac{\left(m-x\right)x+3}{x+1}=2m-1\)\(\Leftrightarrow\left(m-x\right)x+3=\left(2m-1\right)\left(x+1\right)\) \(\Leftrightarrow-x^2+x\left(1-m\right)+4-2m=0\) (*)
Xét (*) có nghiệm \(x=-1\) .
Khi đó: \(-\left(-1\right)^2+\left(-1\right)\left(1-m\right)+4-2m=0\)\(\Leftrightarrow m=2\)
Xét \(m=2\) thay vào phương trình ta có:
\(\dfrac{\left(2-x\right)x+3}{x+1}=2.2-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^2+2x+3=0\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=3\)
Vậy với m = 2 thì phương trình có nghiệm x = 3.
Xét \(m\ne2\)
\(\Delta=\left(1-m\right)^2-4.\left(-1\right).\left(4-2m\right)=\)\(m^2-10m+17\)
Nếu \(\Delta=0\Leftrightarrow m^2-10m+17=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5+2\sqrt{2}\\m=5-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5+2\sqrt{2}\right)}{2}=-2-\sqrt{2}\left(\ne-1\right)\) nếu \(m=5+2\sqrt{2}\).
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5-2\sqrt{2}\right)}{2}=-2+\sqrt{2}\left(\ne-1\right)\)  nếu \(m=5-2\sqrt{2}\).
Nếu \(\Delta>0\Leftrightarrow m^2-10m+17>0\)\(\Leftrightarrow\left(m-5+2\sqrt{2}\right)\left(m-5-2\sqrt{2}>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>5+2\sqrt{2}\\m< 5-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)+\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)-\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
Biện luận:
Nếu \(\Delta< 0\Leftrightarrow5-2\sqrt{2}< m< 5+2\sqrt{2}\) thì phương trình vô nghiệm.
Biện luận:
Với \(m=5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có nghiệm kép là:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5-2\sqrt{2}\right)}{2}=-2+\sqrt{2}\)
Với \(m=5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có nghiệm kép là:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5+2\sqrt{2}\right)}{2}=-2-\sqrt{2}\)
Với  m = 2 thì phương trình có duy nhất nghiệm là: x = 3
Với \(m>5+2\sqrt{2}\) hoặc \(m< 5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)+\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\);
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)-\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
Với \(5-2\sqrt{2}< m< 5+2\sqrt{2}\)  và \(m\ne2\) thì phương trình vô nghiệm.

c) Đkxđ: \(x\ne1\)
\(\dfrac{\left(2m+1\right)x-m}{x-1}=x+m\)
\(\Rightarrow\left(2m+1\right)x-m=\left(x+m\right)\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\left(2+m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[x-\left(2+m\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2+m\end{matrix}\right.\)
Phương trình luôn có một \(x=0\).
Để \(x=2+m\) là một nghiệm của phương trình thì:
\(2+m\ne1\Leftrightarrow m\ne-1\).
Biện luận:
\(m=-1\) phương trình có một nghiệm x = 0.
\(m\ne-1\) phương trình có hai nghiệm: \(x=0\) và \(x=2+m\).