Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)

TH1: \(a;c\) trái dấu 

Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)

Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)

Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà a; c trái dấu nên:

- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu

\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)

Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)

1.a) Theo đề bài,ta có: \(f\left(-1\right)=1\Rightarrow-a+b=1\)

và \(f\left(1\right)=-1\Rightarrow a+b=-1\)

Cộng theo vế suy ra: \(2b=0\Rightarrow b=0\)

Khi đó: \(f\left(-1\right)=1=-a\Rightarrow a=-1\)

Suy ra \(ax+b=-x+b\)

Vậy ...

1.b) Y chang câu a!

Tớ nêu hướng giải bài 3 thôi nhé:

Bài toán: Cho đa thức \(f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\) 

Chứng minh tổng các hệ số của đa thức f(x) là giá trị của đa thức khi x = 1

                                  Lời giải:

Thật vậy,thay x = 1 vào:

\(f\left(1\right)=a_n+a_{n-1}+...+a_1+a_0\) (đúng bằng tổng các hệ số của đa thức)

Vậy tổng các hệ số của 1 đa thức chính là giá trị của đa thức đó khi x = 1 (đpcm)

1.4m+7n=0

=>4m=-7n

=>mx²-4m=0

=>m(x²-4)=0

=>m=0 hoặc x=2 hoặc x=-2

Ta có:

\(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f\left(x\right)=0x^3+0x^2+0x+0\)

\(\Rightarrow a=b=c=d\left(theo.pp.đa.thức.đồng.nhất\right)\\ Chúc.bạn.học.Toán.tốt.\)

Đề hình như sai 

Cho a=1, b=2, c=3, d=0, x=0 có đúng đâu nhỉ

\(f\left(2\right)=a.2^2+b.2+c=4a+2b+c=10a-10b-\left(6a-12b-c\right)=10a-10b\)

\(f\left(-3\right)=a.\left(-3\right)^2+b.\left(-3\right)+c=9a-3b+c=15a-15b-\left(6a-12b-c\right)=15a-15b\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(-3\right)=\left(10a-10b\right).\left(15a-15b\right)=150\left(a-b\right)^2\)

Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0;\forall a;b\Rightarrow150\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(-3\right)\ge0\)