\(VT=x\sqrt{y}+\frac{1}{2}y\sqrt{4\left(2x+2y\right)}\le\frac{x\left(y+1\right)}{2}+\frac{1}{2}y\left(\frac{4+2x+2y}{2}\right)\)

\(=\frac{2xy+2x}{4}+\frac{4y+2xy+2y^2}{4}=\frac{2\left(x+2y\right)+4xy+2y^2}{4}\)

\(=\frac{2\left(x+2y\right)+\frac{2}{3}.3y\left(2x+y\right)}{4}\le\frac{2\left(x+2y\right)+\frac{2}{3}\left(\frac{2\left(x+2y\right)}{2}\right)^2}{4}\le3\) (*)

Đẳng thức xảy ra khi x= y = 1.

Is that true? Bài  này khó nhằn đấy, Đối với mình việc nhìn ra chỗ  (*) ko dễ chút nào, chả biết có tính sai gì ko nữa..

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+2y^2-4y+3=0\\2x^2+2x^2y^2-4y=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow}x^3+2y^2-4y-2x^2-2x^2y^2+4y=0\Rightarrow x^3+1-2x^2y^2+2y^2-2x^2+2=0\Rightarrow\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)-2y^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\Rightarrow\left(x+1\right)\left(x^2-x+1-2xy^2+2y^2-2x+2\right)=0\Rightarrow x=-1\)Thay x=-1 vào (1) ta được y²-2y+1=0⇒ (y-1)²=0⇒y-1=0⇒y=1

Do đó Q=x²+y²=(-1)²+1²=2

Với y =  0 thi 1 - xy = 0 là bình phương của số hữu tỷ

Với y \(\ne0\)thì ta chia 2 vế cho y⁴ thì được

\(\frac{x^5}{y^4}+y=2\frac{x^2}{y^2}\)

\(\Leftrightarrow-y=\frac{x^5}{y^4}-2\frac{x^2}{y^2}\)

\(\Leftrightarrow-xy=\frac{x^6}{y^4}-2\frac{x^3}{y^2}\)

\(\Leftrightarrow\Leftrightarrow1-xy=\frac{x^6}{y^4}-2\frac{x^3}{y^2}+1=\left(\frac{x^3}{y^2}-1\right)^2\)

Vậy 1 - xy là bình phương của 1 số hữu tỷ

Lời giải:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}$

$=x+y+\frac{2}{x+y}$

$=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}$

$\geq \frac{x+y}{2}+2\sqrt{\frac{x+y}{2}.\frac{2}{x+y}}$ (áp dụng BDT Cô-si)

$\geq \frac{2\sqrt{xy}}{2}+2=\frac{2}{2}+2=3$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

\(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]^2}{2}\)

\(=8\)

Dấu "=" xảy  ra tại x=y=¹/₂

Có vẻ kết quả  bị sai Huy ơi.

Diệp thay kết quả cuối cùng 8 ------------> 18 nhé!

Trước hết ta thấy rằng nếu có một trong hai số xy chẵn còn 2x+2y+1 không thể chia hết cho 

\(VT=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)

\(=6\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)+2\frac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}\)

\(\ge6\left(x+y+z\right)^2-2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)

\(=\: 6\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2-2\cdot\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+2\cdot\frac{9}{4\cdot\frac{3}{4}}=9\)