a, có ABCD là hình vuông=>\(AB=BC=CD=AD=20cm\)

\(=>DM=DC-MC=20-5=15cm\)

xét \(\Delta BMN\) vuông tại M\(=>BM=\sqrt{BC^2+MC^2}=\sqrt{20^2+5^2}=5\sqrt{17}cm\)

có: \(BN^2-NM^2=BM^2=425\)

\(< =>AB^2+AN^2\)\(-\left(ND^2+DM^2\right)\)\(=425\)

\(< =>20^2+\left(20-ND\right)^2-ND^2-15^2=425=>ND=3,75cm\)

b, như ý a, ta có: \(BM^2=x^2+20^2\)(CM=x)

\(=>DM=20-x\)

có từ ý a

\(=>BM^2=BN^2-NM^2\)

\(=>x^2+20^2=20^2+\left(20-ND\right)^2-\left(ND^2+DM^2\right)\)

\(x^2+20^2=20^2+\left(20-ND\right)^2\)\(-\left[ND^2+\left(20-x\right)^2\right]\)

\(< =>x^2+20^2=20^2\)\(-40ND+ND^2-ND^2-\left(20-x\right)^2\)

\(< =>x^2+20^2=-40ND+40x-x^2\)

\(< =>40ND=40x-x^2-x^2-20^2\)

\(=>ND=\dfrac{-2x^2+40x-400}{40}=\dfrac{-\left(x^2-20x+200\right)}{20}\)

có \(x^2-20x+200=x^2-2.10x+10^2-10^2+200=\left(x-10\right)^2+100\ge100\)

\(=>\left(-x^2-20x+200\right)\le100\) Dấu= xảy ra<=>x=10<=>MC=10cm

<=>M là trung điểm CD

Ngày mai em tớ phải nộp bài rồi!

Fac you

a/

Ta có

\(\widehat{BAE}+\widehat{DAE}=\widehat{ABC}=90^o\)

\(\widehat{FAD}+\widehat{DAE}=\widehat{FAE}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{FAD}\)(1)

Ta có \(AB=AD\) (2)

Xét tg vuông BAE và tg vuông DAF

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta DAF\) (hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow AE=AF\Rightarrow\Delta AEF\)  cân tại A

Mà \(\widehat{FAE}=90^o\Rightarrow\Delta AEF\) vuông cân tại A

Xét \(\Delta AEF\) có

IE=IF

\(\Rightarrow AD\perp EF\) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh đồng thời là đường cao)

Xét \(\Delta KEF\) có

IE=IF; \(AD\perp EF\)

\(\Rightarrow\Delta KEF\) là tg cân (trong tg đường cao xp từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân) \(\Rightarrow KE=KF\)

b/

Ta có \(\Delta AEF\) vuông cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=45^o\) (1)

Xét \(\Delta ABD\) có

AB=AD; \(\widehat{BAD}=90^o\Rightarrow\Delta ABD\) vuông cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ABD}=45^o\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{AEF}\) (3)

Gọi P là giao của AD với EF; Q là giao của BD với AE

Xét \(\Delta AFP\) và \(\Delta ABQ\) có

AD=AB

\(\Delta AEF\) cân tại A => AF=AE

\(\widehat{DAF}=\widehat{BAE}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AFP=\Delta ABQ\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{APF}=\widehat{AQB}\)

Mà \(\widehat{APF}=\widehat{DPI};\widehat{AQB}=\widehat{EQI}\) (góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{DPI}=\widehat{EQI}\) (4)

Nối D với I, B với I. Xét \(\Delta DPI\) và \(\Delta EQI\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{DIP}=\widehat{EIQ}\)

Mà \(\widehat{EIQ}+\widehat{FIB}=\widehat{FIE}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DIP}+\widehat{FIB}=\widehat{DIB}=180^o\) => D; I; B thẳng hàng

c/ 

Ta có \(AM=AB-BM;CE=BC-BE\)

Mà \(BM=BE;AB=BC\)

\(\Rightarrow AM=CE\)

Ta có AD=CD

\(S_{\Delta ADM}=\frac{AD.AM}{2}=S_{\Delta CDE}=\frac{CD.CE}{2}\Rightarrow S_{\Delta ADM}+S_{\Delta CDE}=2S_{\Delta CDE}=CD.CE\)

\(S_{\Delta BME}=\frac{BE.BM}{2}=\frac{BE^2}{2}\)

Gọi a là cạnh hình vuông ABCD có

\(S_{\Delta DEM}=S_{ABCD}-\left(S_{\Delta ADM}+S_{\Delta CDE}+S_{BME}\right)=\)

\(=a^2-2S_{\Delta CDE}-\frac{BE^2}{2}=a^2-a.CE-\frac{\left(a-CE\right)^2}{2}=\)

\(=\frac{2a^2-2a.CE-a^2+2a.CE-CE^2}{2}=\frac{a^2-CE^2}{2}\)

\(\Rightarrow S_{\Delta DEM}\) lớn nhất khi \(a^2-CE^2\) lớn nhất \(\Rightarrow CE^2\) nhỏ nhất => CE nhỏ nhất

CE nhỏ nhất khi CE=0 => E trùng C

khó quá đi à

Xin lỗi bạn nha ,  chuyên toán cấp 1 thôi 

1/A/vì AF\(\perp\)AE

=>AEF là tam giác vuông

vì ABCD là hình vuông

=> AB=AD ;góc B=góc D=90 độ

=>ABE và ADF là 2 tam giác vuông tại góc B và góc D

ta có:

góc FAD + góc DAE=90 độ

góc DAE+góc EAB=90 độ

=>góc FAD=góc EAB

xét 2 tam giác vuông ABE và ADF có:

AB =AD

góc FAD =góc EAB

=> ΔABE=ΔADF

=>AF=AE

=>ΔAEF là tam giác vuông cân

trong tam giác AFE có:

AF=AE

I là trung điểm của EF

=>AI là đg trung trực của EF

=>IK là đg trung trực của EF

=>KF=KE

mk chỉ làm đến đó thui nha

thấy đúng thì click cho mk