Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, ta tách nhân tử bằng cách sử dụng công thức tổng các lập phương:\(\left(x+2\right)^3+\left(x+1\right)^3=0\)\(\Leftrightarrow\)(x+2+x+1)\([\left(x+2\right)^2-\left(x+2\right)\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2]=0\)\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)\left(x^2+3x+3\right)=0\)

2x+3=0=>\(x=\dfrac{-3}{2}\)nếu là kiến thức trung học thì pt này sẽ có 1 đáp án vì \(x^2+3x+3>0\)trên thực tế , pt này sẽ có 3 giá trị x vì : 3\(x^2+3x+3\) vẫn có thể =0 ta có :Sử dụng công thức bậc hai:\(-\dfrac{b\pm\sqrt{b^2-4\left(ac\right)}}{2a}\)Thay thế các giá trị a=1, b=3, và c=3 vào công thức bậc hai\(\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\left(1.3\right)}}{2.1}\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm i\sqrt{3}}{2}\)câu trả lời cuối cùng kết hợp tất cả đáp án là :\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}\\x=\dfrac{-3+i\sqrt{3}}{2}\\x=\dfrac{-3-i\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\) 

ĐKXĐ: ...

\(\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)^2-4\left(\dfrac{x+2}{x-3}\right)^2+3\left(\dfrac{x-1}{x-3}\right)=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-1}{x+2}=a\\\dfrac{x+2}{x-3}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2-4b^2+3ab=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+4b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b=0\\a+4b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{x-1}{x+2}-\dfrac{x+2}{x-3}=0\\\dfrac{x-1}{x+2}+\dfrac{4x+8}{x-3}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x-3\right)-\left(x+2\right)^2=0\\\left(x-\right)\left(x-3\right)+4\left(x+2\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

a: =(x-3)(2x+5)

b: \(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2+3-2x\right)=0\)

=>(x-2)(5-x)=0

=>x=2 hoặc x=5

c: =>x-1=0

hay x=1

TK

c)=\(\left(x-1\right)^3=0\)=>x=1

a: \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{3}x-1\right)^3=\left(\dfrac{1}{5}x-1\right)^3\)

=>1/3x-1=1/5x-1

=>2/15x=0

hay x=0

b: Đặt 2x+1=a; 3x-1=b

Theo đề, ta có \(\left(a+b\right)^3-a^3-b^3=0\)

=>3ab(a+b)=0

=>5x(2x+1)(3x-1)=0

hay \(x\in\left\{0;-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}\right\}\)

c: Đặt x-3=a; x+1=b

Theo đề, ta có: \(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3\)

=>3ab(a+b)=0

=>(x-3)(x+1)(2x-2)=0

hay \(x\in\left\{3;-1;1\right\}\)

\(\left(x+3\right)^3-\left(x+1\right)^3=0\) (1)

\(ĐKXĐ:x\inℝ\)

Pt (1) \(\Leftrightarrow\left(x+3-x-1\right)\left[\left(x+3\right)^2+\left(x+3\right)\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow2.\left[x^2+6x+9+x^2+4x+3+x^2+2x+1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+12x+13=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+4x+4\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+2\right)^2+1=0\) ( vô nghiệm do \(3\left(x+2\right)^2+1\ge1>0\forall x\) )

Vậy pt đã cho vô nghiệm.

Áp dụng \(a^3-b^3=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)\)ta được

\(\left(x+3\right)^3-\left(x+1\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+3\right)-\left(x+1\right)\right]^3+3\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left[\left(x+3\right)-\left(x+1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow2^3+3\left(x^2+4x+3\right).2=0\)\(\Leftrightarrow8+6\left(x^2+4x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow6\left(x^2+4x+3\right)=-8\)\(\Leftrightarrow6\left[\left(x^2+4x+4\right)-1\right]=-8\)

\(\Leftrightarrow6\left(x+2\right)^2-6=-8\)\(\Leftrightarrow6\left(x+2\right)^2=-2\)

Vì \(6\left(x+2\right)^2\ge0\forall x\)

mà \(-2< 0\)\(\Rightarrow\)Vô lý

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\varnothing\) 

Bài toán phụ:Với \(a-b+c=0\) thì \(a^3-b^3+c^3=-3abc\)

Chứng minh:\(a-b+c=0\Rightarrow a+c=b\Rightarrow\left(a+c\right)^3=b^3\)

\(\Rightarrow a^3+3ac\left(a+c\right)+c^3=b^3\)\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=-3ac\left(a+c\right)\Rightarrow a^3-b^3+c^3=-3abc\)(đpcm)

Áp dụng vào bài toán ta có:\(2x-5-\left(3x-4\right)+x+1=0\)

\(\Rightarrow\left(2x-5\right)^3-\left(3x-4\right)^3+\left(x+1\right)^3=-3\left(2x-5\right)\left(3x-4\right)\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow-3\left(2x-5\right)\left(3x-4\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\)\(2x-5=0\) hoặc \(3x-4=0\) hoặc \(x+1=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{5}{2}\) hoặc \(x=\frac{4}{3}\) hoặc \(x=-1\)

kết bạn ko

ĐKXĐ:...

pt\(\Leftrightarrow4\left(x^2-2x\right)+16\sqrt{x^2-2x-3}-21=0\)

Đặt \(\sqrt{x^2-2x-3}=t\left(t\ge0\right)\Rightarrow t^2=x^2-2x-3\Leftrightarrow t^2+3=x^2-2x\)

\(\Rightarrow4\left(t^2+3\right)+16t-21=0\)

\(\Leftrightarrow4t^2+12+16t-21=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{1}{2}\\t=-\frac{9}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow t=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x^2-2x-3=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{2+\sqrt{17}}{2}\\x=\frac{2-\sqrt{17}}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x=\frac{2+\sqrt{17}}{2}\)