a: Xét ΔABD vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc ABD chung

=>ΔABD đồng dạng với ΔHBA

b: BD=căn 3^2+4^2=5cm

HB=AB^2/BD=3,2cm

c: AD là phân giác

=>ED/EB=AD/AB

mà AD/AB=AH/BH

nên ED/EB=AH/BH

+/ Vì AH là đường cao ứng với đáy CD của hbh ABCD (gt) => Diện tích hbh ABCD=AH.CD (1)

Vì AK là đường cao ứng với đáy BC của hbh ABCD (gt) => Diện tích hbh ABCD=AK.BC (2)

Từ (1) và (2)=> AH.CD=AK.BC <=> AH/BC = AK/CD

Vì ABCD là hbh (gt)=> AB=CD (t/c hbh)

=> AH/BC=AK/AB

+/ Vì ABCD là hbh (gt)=> AB//CD (t/c hbh)

Mà AH vuông góc CD (gt)

=> AH vuông góc AB (định lí từ vuông góc đến song song)=> góc HAB=90^o <=> góc KAH + góc BAK= 90^o

Vì AK vuông góc BC (gt) => tam giác ABK vuông ở K có góc BAC + góc ABC= 90^o (2 góc phụ nhau)

=> góc KAH = góc ABC (cùng phụ góc BAK)

+/ Xét tam giác KAH và tam giác ABC có:

- AH/BC=AK/AB (cmt)

- góc KAH=góc ABC (cmt)

=> tam giác KAH đồng dạng tam giác ABC (c.g.c)

<=> góc AKH = góc BAC (khái niệm về tam giác đồng dạng)

Mà AB//CD (cmt)=> góc BAC=góc ACH (2 góc so le trong)

=> góc AKH= góc ACH (cùng bằng góc BAC) (đpcm)

Vậy ΔHCK∼ΔABC(g−g) 

Từ đó suy ra \(\frac{HK}{AC}=\frac{HC}{AB}=sinABD\Rightarrow HK=AC.sinABD\)

Một tứ giác lồi là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi bốn đường trung trực của bốn cạnh đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này chính là tâm đường tròn nội tiếp.^[1]

Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi hai góc đối bù nhau, tức là^[1]

{\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =180^{\circ }.} Ở đây {\displaystyle \alpha =\angle DAB,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle BCD,\delta =\angle CDA}

Định lý trên được nêu trong bộ Cơ bản của Euclid.^[2] Từ đó ta có khẳng định sau: Một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi một góc trong bằng góc kề bù của góc đối đỉnh góc đó.

Một trong các dấu hiệu nhận biết quan trọng khác để tứ giác ABCD nội tiếp là tứ giác có hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh của tứ giác đó^[3] Ví dụ như: {\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}

Định lý Ptoleme cũng chỉ ra rằng một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi tích hai đường chéo bằng tổng của tích hai cặp cạnh đối, tức là:^[4]:p.25

{\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd.}

Nếu hai đường thẳng lần lượt chứa hai đoạn thẳng AC và BD, cắt nhau tại P, thì A, B, C, D đồng viên khi và chỉ khi:^[5]

{\displaystyle \displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.}

Giao điểm P có thể nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn. Trong trường hợp nằm trong, tứ giác lồi nội tiếp là ABCD, còn trong trường hợp còn lại, tứ giác nội tiếp là ABDC.

Một dấu hiệu nhận biết khác là tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi:^[6]

{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}=1.}

a: Xét ΔHAD vuông tại H và ΔABD vuông tại A có

góc HDA chung

=>ΔHAD đồng dạng với ΔABD

b: ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên DA^2=DH*DB

c: \(BD=\sqrt{8^2+6^2}=10\left(cm\right)\)

AH=6*8/10=4,8cm

DH=6^2/10=3,6cm