Đề sai rồi b

non vãi loonf đến câu này còn đéo bt ko bt đi học để làm gì

đúng trẻ trâu

Lời giải:

Xét hiệu: $a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2(ab+bc+ac)}{2}=\frac{(a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ac)}{2}=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$ với mọi $a,b,c>0$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac(1)$

Lại có:

Do $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:

$a< b+c$

$\Rightarrow a^2< a(b+c)$

Tương tự: $b^2< b(a+c); c^2< c(a+b)$

Cộng theo vế các BĐT trên: $a^2+b^2+c^2< a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+bc+ac)(2)$

Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.

`1/a^2+1/b^2+1/c^2<=(a+b+c)/(abc)`
`<=>1/a^2+1/b^2+1/c^2<=1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)`
`<=>2/a^2+2/b^2+2/c^2<=2/(ab)+2/(bc)+2/(ca)`
`<=>1/a^2-2/(ab)+1/b^2+1/b^2-2/(bc)+1/c^2+1/c^2-2/(ac)+1/a^2<=0`
`<=>(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2<=0`
Mà `(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2>=0`
`=>(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2=0`
`<=>1/a=1/b=1/c`
`<=>a=b=c`
`=>` tam giác này là tam giác đều
`=>hata=hatb=hatc=60^o`

Áp dụng bđt cosi với hai số dương:

\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{2}{ab}\)     ; \(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{2}{bc}\)      ; \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{2}{ac}\)

\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\)  (*)

Theo giả thiết có: \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\le\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}\)  (2*)

Từ (*), (2*) ,dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

=> Tam giác chứa ba cạnh a,b,c thỏa mãn gt là tam giác đều

=> Số đo các góc là 60 độ

ta có: \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)\(\ge\)ab+bc+ca

<=> \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)-ab-bc-ca\(\ge\)0

<=>2\(a^2\)+2\(b^2\)+2\(c^2\)-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0

<=> (\(a^2\)-2ab+\(b^2\))+(\(b^2\)-2bc+\(c^2\))+(\(c^2\)-2ca+\(a^2\))\(\ge\)0

<=> \(\left(a-b\right)^2\)+\(\left(b-c\right)^2\)+\(\left(c-a\right)^2\)\(\ge\)0 (luôn đúng)

dấu = xảy ra khi a =b=c

a&#x2212;b&lt;c&lt;=&gt;a2+b2&#x2212;2ab&lt;c2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a−b<c<=>a2+b2−2ab<c2

b&#x2212;c&lt;a&lt;=&gt;b2+c2&#x2212;2bc&lt;a2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">b−c<a<=>b2+c2−2bc<a2

a&#x2212;c&lt;b&lt;=&gt;a2+c2&#x2212;2ac&lt;b2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a−c<b<=>a2+c2−2ac<b2

2(a2+b2+c2)&#x2212;2(ab+bc+ac)&lt;a2+b2+c2&lt;=&gt;2(ab+ac+bc)&gt;a2+b2+c2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ac)<a2+b2+c2<=>2(ab+ac+bc)>a2+b2+c2 (đpcm)

Bài này khó lắm tớ mới làm có vế trái thôi

Ta có :

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)       (1)

Vì \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có :

\(a^2< a.\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow a^2< ab+ac\)

Tương tự :

\(b^2< ab+bc\)

\(c^2< ca+bc\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)              (2)

Từ (1) và (2)

=> Đpcm

Dấu "=" ko xảy ra ??? xem lại đề 

Theo bđt tam giác ta có : 

\(a< b+c\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2< ab+ac\)

\(b< c+a\)\(\Leftrightarrow\)\(b^2< bc+ab\)

\(c< a+b\)\(\Leftrightarrow\)\(c^2< ac+bc\)

Cộng theo vế từng bđt trên ta có : 

\(a^2+b^2+c^2< ab+ac+bc+ab+ac+bc=2\left(ab+bc+ca\right)\) ( đpcm ) 

Chúc bạn học tốt ~