a) Nếu n²+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n² + 2014 = k2 → k² – n² = 2014

=> (k – n)(k + n) = 2014 (*)

Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn

Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4

Mà 2014 không chia hết cho 4

Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.

Vậy không có số nguyên dương n nào để số n² + 2014 là số chính phương

b) Với 2 số a, b dương:

Xét: a² + b² – ab ≤ 1

<=> (a + b)(a² + b² – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)

<=> a³ + b³ ≤ a + b

<=> (a³ + b³)(a³ + b³) ≤ (a + b)(a⁵ + b⁵) (vì a³ + b³ = a⁵ + b⁵)

<=> a⁶ + 2a³b³ + b⁶ ≤ a⁶ + ab⁵ + a⁵b + b⁶

<=> 2a³b³ ≤ ab⁵ + a⁵b

<=> ab(a⁴ – 2a²b² + b⁴⁾ ≥ 0

<=> ab(a² - b²) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .

Vậy: a² + b² ≤ 1 + ab với a, b dương và a³ + b³ = a⁵ + b⁵

Câu hỏi của Adminbird - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Đặt k=a2+b2ab+1(k∈Z)k=a2+b2ab+1(k∈Z)  
Giả sử kk không là số chính phương 
Cố định số nguyên dương kk, sẽ tồn tại cặp (a,b)(a,b) . Ta kí hiệu 
S={(a,b)∈NxN|a2+b2ab+1=k}S={(a,b)∈NxN|a2+b2ab+1=k} 
Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc SS tồn tại (A,B)(A,B) sao cho A+BA+B đạt min 
Giả sử A≥B>0A≥B>0 . Cố định BB ta còn số nữa khác AA thảo phương trình k=x+B2xB+1k=x+B2xB+1 
⇔x2−kBx+B2−k=0⇔x2−kBx+B2−k=0 phương trình có nghiệm AA
Theo Viet : {A+x2=kBA.x2=B2−k{A+x2=kBA.x2=B2−k 
Suy ra x2=kB−A=B2−kAx2=kB−A=B2−kA 
Dễ thấy x2x2 nguyên. 
Nếu x2<0x2<0 thì x22−kBx2+B2−k≥x22+k+B2−k>0x22−kBx2+B2−k≥x22+k+B2−k>0 (vô lí) . Suy ra x2≥0x2≥0 do đó (x2,B)∈S(x2,B)∈S  
Do A≥B>0⇒x2=B2−kA<A2−kA<AA≥B>0⇒x2=B2−kA<A2−kA<A 
Suy ra x2+B<A+Bx2+B<A+B (trái với giả sử A+BA+B đạt min) 
Suy ra kk là số chính phương

Xét : \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a+b+c+d\right)\)

        \(=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\)

Vì \(a\) là  số nguyên dương nên \(a,\left(a-1\right)\) là hai số tự nhiên liên tiếp . 

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\) chia hết cho 2. Tương tự ta có : \(b\left(b-1\right);c\left(c-1\right);d\left(d-1\right)\) đều chia hết cho 2.

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\) là số chẵn . 

Lại có : \(a^2+c^2=b^2+d^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+d^2\right)\) là số chẵn .

Do đó : \(a+b+c+d\) là số chẵn mà \(a+b+c+d>2\) (Do \(a,b,c,d\inℕ^∗\))

Vậy : \(a+b+c+d\) là hợp số .

Xét : (�2+�2+�2+�2)−(�+�+�+�)(a2+b2+c2+d2)−(a+b+c+d)

        $=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)$

Vì $a$ là  số nguyên dương nên $a,\left(a-1\right)$ là hai số tự nhiên liên tiếp . 

$\Rightarrow a\left(a-1\right)$ chia hết cho 2. Tương tự ta có : $b\left(b-1\right);c\left(c-1\right);d\left(d-1\right)$ đều chia hết cho 2.

$\Rightarrow a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)$ là số chẵn . 

Lại có : �2+�2=�2+�2⇒�2+�2+�2+�2=2(�2+�2)a2+c2=b2+d2⇒a2+b2+c2+d2=2(b2+d2) là số chẵn .

Do đó : $a+b+c+d$ là số chẵn mà $a+b+c+d>2$ (Do �,�,�,�∈N∗a,b,c,d∈N∗)

Vậy : $a+b+c+d$ là hợp số .