Bài 2: 

Vì n là số tự nhiên lẻ nên \(n=2k+1\left(k\in N\right)\)

1: 

\(n^2+4n+3\)

\(=n^2+3n+n+3\)

\(=\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)\)

\(=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k+1;k+2 là hai số nguyên liên tiếp 

nên \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮2\)

=>\(4\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮8\)

hay \(n^2+4n+3⋮8\)

2: \(n^3+3n^2-n-3\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3!\)

=>\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮6\)

=>\(8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮48\)

hay \(n^3+3n^2-n-3⋮48\)

a)Ta có:a²(a+1)+2a(a+1)=(a²+2a)(a+1)

=a(a+1)(a+2)

Vì a(a+1)(a+2) là tích của 3 thừa số nguyên liên tiếp(a thuộc Z) nên trong tích luôn tồn tại 1 thừa số \(⋮2\);1 thừa số \(⋮3\)

mà (2;3)=1

=>a(a+1)(a+2)\(⋮2.3\)=6 hay a²(a+1)+2a(a+1)\(⋮6\)

b)Ta có:

a(2a-3)-2a(a-1)=2a²-3a-2a²+2a=-a

cái này có phải đề sai k vậy bạn

dat cau hoi muon ko ai tra loi la phai

 xét n^2+4n+3= n^2+n+3n+3= n(n+1) + 3(n+1)= (n+1)(n+3) 
Mà n là số nguyên lẻ nên n chia cho 2 dư 1 hay n= 2k+1( k thuộc Z) 
do đó n^2+4n+3= (n+1)(n+3)= (2k+1+1)(2k+1+3)= (2k+2)(2k+4) 
= 2(k+1)2(k+2)= 4(k+1)(k+2) 
Mà (k+1)(k+2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2. 
Vậy n^2+4n+3= (n+1)(n+3)= 4(k+1)(k+2) chia hết cho 4; chia hết cho 2 Vậy ...... chia hết cho 8

\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

Với mọi n là số tự nhiên lẻ, ta có thể biểu diễn n = 2k+1 với k là số tự nhiên

Ta có : \(n^2+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)=\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=2.\left(k+1\right).2\left(k+2\right)=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

mà (k+1)(k+2) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2

Suy ra \(n^2+4n+3\) chia hết cho 2x4 = 8 với mọi n lẻ

Ta có: 

n² + 4n + 3

= n² + n + 3n + 3

= n.(n + 1) + 3.(n + 1)

= (n + 1).(n + 3)

Do n lẻ => n = 2.k + 1 (k thuộc N)

=> (n + 1).(n + 3) = (2.k + 1 + 1).(2.k + 1 + 3)

= (2.k + 2).(2.k + 4)

= 2.(k + 1).2.(k + 2)

= 4.(k + 1).(k + 2)

Vì (k + 1).(k + 2) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => (k + 1).(k + 2) chia hết cho 2

-=> 4.(k + 1).(k + 2) chia hết cho 8

=> n² + 4n + 3 chia hết cho 8 (đpcm)

\(n^2+4n+3=n^2+n+3n+3=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

Có \(\text{n = 2k + 1}\) (lẻ)

Do đó: \(n^2+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)=\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=2\left(k+1\right)2\left(k+2\right)=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Có: (k + 1)(k + 2) = 2k 

\(\Rightarrow4\left(2k+1\right)\left(k+2\right)=4.2k=8k⋮8\left(\text{đ}pcm\right)\)

Bài 2 gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a+2
ta có 2a(2a+2)=4a^2+4a=4a(a+1)
vì a và a+1 là hai số liên tiếp nên trong hai số này sẽ có ,ột số chia hết cho 2
Suy ra 4a(a+1)chia hết cho 8
Bài 3 n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3) 
                            =(n-3)(n^2-1)
                            =(n-3)(n-1)(n+1)

Do n lẻ nên ta thay n=2k+1ta được (2k-2)2k(2k+2)=2(k-1)2k2(k+1)
                                                                         =8(k-1)k(k+1)

vì k-1,k,k+1laf ba số nguyên liên tiếp mà tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
8.6=48 Vậy n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 8 với n lẻ

Bài 4 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^1-1)(n^2-4)
                           =n(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)là tích của 5 số nguyên liên tiếp 
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 trong đó có một số là bội của 4
một bội của 3 một bội của 5 do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5=120