Question

CMR: n² + 4n + 3 chia hết cho 8 với mọi n lẻ

Answer 1

Với mọi n là số tự nhiên lẻ, ta có thể biểu diễn n = 2k+1 với k là số tự nhiên

Ta có : \(n^2+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)=\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=2.\left(k+1\right).2\left(k+2\right)=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

mà (k+1)(k+2) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2

Suy ra \(n^2+4n+3\) chia hết cho 2x4 = 8 với mọi n lẻ

Answer 2

Ta có: 

n² + 4n + 3

= n² + n + 3n + 3

= n.(n + 1) + 3.(n + 1)

= (n + 1).(n + 3)

Do n lẻ => n = 2.k + 1 (k thuộc N)

=> (n + 1).(n + 3) = (2.k + 1 + 1).(2.k + 1 + 3)

= (2.k + 2).(2.k + 4)

= 2.(k + 1).2.(k + 2)

= 4.(k + 1).(k + 2)

Vì (k + 1).(k + 2) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => (k + 1).(k + 2) chia hết cho 2

-=> 4.(k + 1).(k + 2) chia hết cho 8

=> n² + 4n + 3 chia hết cho 8 (đpcm)

Answer 3

\(n^2+4n+3=n^2+n+3n+3=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

Có \(\text{n = 2k + 1}\) (lẻ)

Do đó: \(n^2+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)=\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=2\left(k+1\right)2\left(k+2\right)=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Có: (k + 1)(k + 2) = 2k 

\(\Rightarrow4\left(2k+1\right)\left(k+2\right)=4.2k=8k⋮8\left(\text{đ}pcm\right)\)