Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=2. Tìm max của P=2ab+bc+ca
GIÚP T VỚI ^_^!
Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=2. Tìm Max P = 2ab+bc+ca
Thay \(c=2-\left(a+b\right)\Leftrightarrow P=2ab+c\left(a+b\right)=2ab+\left(a+b\right)\left[2-\left(a+b\right)\right]\)
\(=2ab+2\left(a+b\right)-a^2-b^2-2ab=2\left(a+b\right)-a^2-b^2=2-\left(a-1\right)^2-\left(b-1\right)^2\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2\\\left(b-1\right)^2\end{cases}\ge0\forall a,b\inℝ\Rightarrow P=2-\left(a-1\right)^2-\left(b-1\right)^2\le2}\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=1\rightarrow c=0\)
cho số thực a;b;c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\)
tìm min max của \(P=ab+bc+ca\)
Chuyên gia sao lại đi hỏi ( nghĩ chuyên gia phải cái gì cũng biết mà ??? )
Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\)
<=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
<=>\(1+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
<=>\(ab+bc+ca\ge\dfrac{-1}{2}\)
hay P\(\ge\dfrac{-1}{2}\)
Cho a;b;c>=0 thỏa mãn : \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac=12\)
Tìm min max của \(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}+ab+bc+ac\)
cho a , b , c là 3 só thực dương thỏa mãn : a + 2b + 3c = 1 . Tìm max của \(P=\frac{6bc}{\sqrt{a+6bc}}+\frac{3ac}{\sqrt{2b+3ac}}+\frac{2ab}{\sqrt{3c+2ab}}\)
Dặt x=a, y=2b,z=3c
Khi đó
\(P=\frac{yz}{\sqrt{x+yz}}+\frac{xz}{\sqrt{y+xz}}+\frac{xy}{\sqrt{z+xy}}\)và x+y+z=1
Ta có \(\frac{yz}{\sqrt{x+yz}}=\frac{yz}{\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\frac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\frac{1}{2}yz\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{xz}{x+y}+\frac{yz}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{y+z}+\frac{xz}{y+z}\right)+...=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(=\frac{1}{2}\)
Vậy \(MaxP=\frac{1}{2}\)khi x=y=z=1/3 hay \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{3}\\b=\frac{1}{6}\\c=\frac{1}{9}\end{cases}}\)
Cho 3 số thực a,b,c thoả mãn a+b+c=2. Tim max F= 2ab+bc+ca
Cho a,b,c >0 thỏa mãn : \(a^2+b^2+c^2=abc\\\) .Tìm max của biểu thức :
\(P=\dfrac{a}{a^2+bc}+\dfrac{b}{b^2+ca}+\dfrac{c}{c^2+ab}\)
\(P\le\dfrac{a}{2\sqrt{a^2bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{b^2ca}}+\dfrac{c}{2\sqrt{c^2ab}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Áp dụng cosi:
`a^2+bc>=2a\sqrt{bc}`
Hoàn toàn tương tự:
`=>P<=1/2(1/sqrt{ab}+1/sqrt{bc}+1/sqrt{ca})`
Áp dụng cosi:
`1/a+1/b+1/c>=1/sqrt(ab)+1/sqrt(bc)+1/sqrt(ca)`
`=>P<=1/2(1/a+1/b+1/c)`
`=>P<=1/2((ab+bc+ca)/(abc))<=(a^2+b^2+c^2)/(2(abc))=1/2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=3`
VỚI CÁC SỐ THỰC DƯƠNG a , b , c thỏa mãn : a^2 + b^2 +c^2 + 2abc = 1 Tìm MAX của biểu thức P = ab + bc + ca - abc
Ta có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+\)\(bc\)(1)
vì , ta có
(1) \(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\)\(+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng) => bất đẳng thức
Ta có :
\(a^2+b^2+c^2-2abc\ge ab+bc+ac-2abc\)
<=>\(a^2+b^2+c^2+2abc-3abc\ge ab+bc+ac-2abc\)
<=> \(1-3abc\ge ab+bc+ac-2abc\)
=> MAX P=1 <=> \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=c=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}b=0\\a=c=1\end{cases}}\)
hoặc \(\hept{\begin{cases}c=0\\a=b=1\end{cases}}\)
Sai thì bảo mình nhé
xin lỗi Dòng thứ 8 và 9 phải là
\(a^2+b^2+c^2+2abc-4abc\ge ab+ac+bc-2abc\)
\(\Leftrightarrow1-4abc\ge ab+ac+bc-2abc\)
9999999999999999x99999999999999 =?
cho a,b,c không đồng thời bằng 0 thỏa mãn a2+b2+c2=2,ab+bc+ca =1.tìm min,max của a,b,c
Các bạn ơi giúp mình với !!!
Cho a,b,c thỏa mãn 2(b2 +bc +c2 )=3(3-a2 )
Tìm min,max a+b+c