Xét ΔPMN có PQ là đường phân giác

nên MQ/MP=NQ/NP

hay MQ/6,2=NQ/8,7

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta được:

\(\dfrac{MQ}{6.2}=\dfrac{NQ}{8.7}=\dfrac{MQ+NQ}{6.2+8.7}=\dfrac{12.5}{14.9}=\dfrac{125}{149}\)

=>MQ=775/149(cm); NQ=2175/298(cm)

a, Xét tam giác AMN và tam giác ABC có 

^A _ chung 

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2,5}{7,5}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)

Vậy tam giác AMN ~ tam giác ABC (c.g.c) 

b, Ta có tỉ số đồng dạng : \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\Rightarrow MN=\dfrac{AM.BC}{AB}=4cm\)

a.Ta có:

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2,5}{7,5}=\dfrac{1}{3};\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\)MN//BC ( Ta-lét đảo )

=> Tam giác AMN đồng dạng tam giác ABC

b. Ta có: MN//BC ( cmt )

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}=\dfrac{MN}{12}\)

\(\Leftrightarrow3MN=12\)

\(\Leftrightarrow MN=4cm\)

-Hình vẽ:

a) Ta có: \(\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{BM}{CM}=2\).

-Xét △ABC có: \(\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{AN}{NC}=2\) .

\(\Rightarrow MN\)//\(AB\) (định lí Ta-let đảo).

b) -Xét △BCI có: MK//BI (cmt).

\(\Rightarrow\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{CK}{CI}\) (định lí Ta-let) (1).

-Xét △ACI có: NK//AI (cmt).

\(\Rightarrow\dfrac{NK}{AI}=\dfrac{CK}{CI}\) (định lí Ta-let) (2).

-Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{NK}{AI}\)

 Mà \(BI=AI\) (I là trung điểm AB).

\(\Rightarrow MK=NK\) hay K là trung điểm MN.

a: AE=1/3x6=2(cm)

b: AE/AB=AF/AC

c: Xét ΔABC có EF//BC

nên AE/AB=AF/AC

=>AF/7=1/3

hay AF=7/3(cm)

a: \(S_{ABCD}=\dfrac{AD\cdot DC}{2}=\dfrac{12\cdot16}{2}=12\cdot8=96\left(cm^2\right)\)

b: MD=6cm

DO=5cm

a: Xét tứ giác BDCN có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của DN

Do đó: BDCN là hình bình hành

b: Xét tứ giác ANDB có 

DB//AN

DB=AN

Do đó: ANDB là hình bình hành

mà \(\widehat{NAB}=90^0\)

nên ANDB là hình chữ nhật

Suy ra: AD=BN

a)

Vì D đối xứng N qua M (gt)

=> M là trung điểm của DM (đn)

Xét tứ giác BDCN có

M là trung điểm BC (gt)

M là trung điểm DM (cmt)

=> Tứ giác BDCN là hbh (dhnb hbh)

b) 

Vì BDCN là hbh( cmt)

=> BD//NC

=> BD//AN (1) và BD=NC

mà NC=AN (N là trung điểm AC)

=> BD=NC (bắc cầu) (2)

Mà BAC=90 (gt) (3)

Từ (1) và (2), (3)=> BDNA hcn (dhnb hcn)

=> AD=BN (t/c đường chéo hcn)

Xét tam giác ACE có

N là trung điểm AC (gt)

FN//EC (BN//DC)

=> F là trung điểm của AE ( đtb)

mà N là trung điểm của AC (gt)

=> FN là đtb của tam giác AEC ( đn)

=> FN= 1/2 EC (1)

Xét tam giác FNM=tam giác EMD (cgc)

=> DE=FN ( 2 góc t/ư)(2)

Từ (1) và (2) => DE=1/2 EC ( bc)