(Quảng Ninh - 2020)
Cho đường tròn $(O; R)$ và $A$ là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B$ và $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$. Kẻ đường kính $BD$ của đường tròn $(O)$, $AD$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $E$.
a. Chứng minh $ABOC$ là tứ giác nội tiếp.
b. Tính độ dài $AH$, biết $R = 3$cm, $AB = 4$cm.
c. Chứng minh $AE.AD = AH.AO$.
d. Tia $CE$ cắt $AH$ tại $F$. Chứng tỏ $F$ là trung điểm của $AH$.
a. Ta có: \(\Lambda\)ABO=90 ( do AB là tiếp tuyến của (O))
\(\Lambda\)ACO=90 ( do AC là tiếp tuyến của (O))
\(\Rightarrow\) \(\Lambda\)ABO + \(\Lambda\)ACO = 90 + 90 = 180.
Suy ra: tứ giác ABOC nội tiếp.
b. Ta có: AB,AC lần lượt là tiếp tuyến của (O) nên AB=AC.
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)ABC cân tại A lại có AH là tia phân giác nên AH cũng là đường cao
\(\Rightarrow\)AO\(\perp\)BC tại H.
Áp dụng đinh lý Py-ta-go vào \(\Delta\)ABO ta có:
AO2 = AB2 + BO2 = 42 + 32 = 25
\(\Rightarrow\)AO = 5 (cm).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABO ta được:
AB2 = AH.AO \(\Rightarrow\) AH = \(\dfrac{AB^2}{AO}\)=\(\dfrac{16}{5}\)(cm)
c. Ta có: \(\Lambda\)ACE=\(\Lambda\)ADC ( tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )
Xét \(\Delta\)ACE và \(\Delta\)ADC có:
\(\Lambda ACE=\Lambda ADC\)
\(\Lambda\)CAD chung
Do đó: \(\Delta ACE\sim\Delta ADC\) \(\Rightarrow\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AE}{AC}\) \(\Rightarrow\)AC2 = AD.AE (1)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ACO có:
AC2 = AH.AO (2)
Từ (1) và (2) ,suy ra: AD.AE = AH.AO.
a)Ta có:\(\widehat{ABO};\widehat{ACO}\) lần lượt là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{ABO=}\widehat{ACO}=90^{ }\)
\(\Rightarrow\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90+90=180\)
Mà hai góc này đối nhau nên tứ giác ABOC nội tiếb)
b)Theo a) ta có:\(\widehat{ABO}=90\)⇒▲ABO là tam giác vuông tại B đường cao AH.
Áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông ABO đường cao AH ta có:
\(AO^2=AB^2+BO^2=4^2+3^2=25\)
\(\Rightarrow\sqrt{AO}=5\) cm.
Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong ▲vuông ABO ta có:
\(AB^2=AH\cdot AO\)
\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB^2^{ }}{AO}=\dfrac{4^2^{ }}{5}=\dfrac{16}{5}\)
cho đường tròn ( O ;R ) và một điểm A nằm ngoài đườn tròn . Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB VÀ AC ( B,C là tiếp điểm ) . Kẻ đường kính BD . Đường thẳng vuông góc với BD tại O cắt đường thẳng DC tại E,AO cắt BC tại H
a, c/m ; OA vuông góc với BC
b, biết R = 5 cm ,AB = 12 cm .Tính BC ?
c, c/m tứ giác AEDO là hình bình hành.
Bài 1: Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B,C là hai tiếp điểm). Kẻ cát tuyến ADE vs đường tròn (O) (D nằm giữa A và E).
a) cm: A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn.
b) cm: OA vuông BC tại H và OD2 = OH.OA. Từ đó suy ra tam giác OHD đồng dạng vs tam giác ODA.
c) cm: BC trùng với tia phân giác của góc DHE.
d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BE, đường thẳng này cắt AB, AC lần lượt tại M và N. cm: D là trung điểm MN.
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R, dây BC khác đường kính. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R) tại B và tại C cắt nhau tại A. Kẻ đường kính CD, kẻ BH vuông góc vs CD tại H.
a) cm: A,B,O,C cùng thuoojcj một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
b) cm: AO vuông góc vs BC. Cho biết R=15cm, BC=24cm. Tính AB, OA.
c) cm: BC là tia phân giác của góc ABH.
d) Gọi I là giao điểm của AD và BH, E là giao điểm của BD và AC. cm: IH=IB.
Cho đường tron (O;R) đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A. Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn (O;R) (M là tiếp điểm). Đường thẳng CM cắt đường thẳng d tại E. Đường thẳng EB cắt đường tròn (O;R) tại N.
a/ CM: tứ giác ABME nội tiếp một đường tròn.
b/ CM: ^AMB = ^ACN
c/ CM: AN là tiếp tuyến đường tròn (O;R)
Bài 4 (3 điểm). Cho đường tròn (O;R) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C). 1. Biết R = 3 cm, AB = 8 cm, tính độ dài các đoạn thẳng: AO, AC, BD. 2. Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh H là trung điểm BE và AE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Tia OA cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh FA . CH=HF . CA
1: \(AO=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}\left(cm\right)\)
BC=2*R=6cm
\(CA=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\left(cm\right)\)
BD=6*8/10=4,8cm
2: Xét ΔBCE có
O là trung điểm của BC
OH//CE
=>H là trung điểm của BE
ΔOBE cân tại O
mà OH là trung tuyến
nên OH là phân giác của góc BOE
Xét ΔOBA và ΔOEA có
OB=OE
góc BOA=góc EOA
OA chung
=>ΔOBA=ΔOEA
=>góc OEA=90 độ
=>AE là tiếp tuyến của (O)
Cho đường tròn ( O ; R ) đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R , từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với ( O ) tại M .
1 . Cm : Tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn
2 . Cm : BM // OP
3 . Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N . Cm : tứ giác OBNP là hình bình hành
4 . Biết AN cắt OP tại K , PM cắt ON tại I ; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J .
Cm : I , J , K thẳng hàng
cho đường tròn O , từ một điểm S nằm ngoài O , kẻ tiếp tuyến SB và SC với đường tròn O , B và C là các tiếp điểm. Kẻ đường thẳng SO cắt BC tại D và cắt cung lớn BC của đường tròn O tại A. kẻ CH vuông góc với AB tại H, M là trung điểm của CH. AM cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là N. CM tứ giác DMCN nội tiếp
cho đường tròn (O;R) và 1 điểm nằm trên S bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến của SA, SB của dunguong792 tròn (O/R) (với A,B là các tiếp điểm) một đưởng thẳng đi qua S (khôn đi qua tâm O) cắt đường tròn(O;R) tại điểm M và N( Mnằm giữa S và N). Gọi H là giao điểm của SO, AB,I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E.a,cm:diện tích AOB và SHIE là tứ giác nội tiếp đường tròn b,cm tam giác SOI đồng dạng với tam giác EOH và OI.OE=OR^2
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF của nửa đường tròn (O) (vói F là tiếp điểm), tia AF cắt tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn tại D. Cho biết AF = 4 R 3
a, Chứng minh tứ giác OBDF nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này
b, Tính côsin góc D A B ^
c, Kẻ OM ^ BC (M Î AD). Chứng minh
B
D
D
M
-
D
M
A
M
=
1
d, Tính diện tích phần hình tứ giác OBDM ở bên ngoài nửa đường tròn (O) theo R
a, Chứng minh được DBOF nội tiếp đường tròn tâm I là trung điểm của DO
b, O A = O F 2 + A F 2 = 5 R 3 => cos D A B ^ = A F A O = 4 5
c, ∆AMO:∆ADB(g.g) => D M A M = O B O A
mà M O D ^ = O D B ^ = O D M ^ => DM = OM
=> D B D M = D B O M = A D A M . Xét vế trái B D D M - D M A M = A D - D M A M = 1
d, D B = A B . tan D A B ^ = 8 R 3 . 3 4 = 2 R => O M = A O . tan D A B ^ = 5 R 4
=> S O M D B = 13 R 2 8
S O M D B ngoài = S O M D B - 1 4 S O , R = R 2 8 13 - 2 π
