non vãi loonf đến câu này còn đéo bt ko bt đi học để làm gì

đúng trẻ trâu

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác:

\(a< b+c;b< c+a;c< a+b\)

\(\Rightarrow a^2< ab+ac;b^2< bc+ab;c^2< ac+bc\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca>\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

Cảm ơn bn nha~~

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(c^2+a^2\ge2ac\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\);\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Có: \(a^2+b^2+c^2< 2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(a,b,c>0)

Vậy ta có đpcm.

Câu 4:
Theo BĐT tam giác ta có:
$a< b+c$
$=> a^2< ab+ac$
$b< c+a$
$=> b^2 <bc+ba$
$c<a+b$
$=> c^2 <ca+cb$
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
$a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca) (1)$
Ta có $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≥ 0$ với mọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
$<=> a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 ≥ 0$
$<=> 2(a^2+b^2+c^2) ≥ 2(ab+bc+ca)$
$<=> ab+bc+ca ≤ a^2+b^2+c^2 (2)$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$ <=> tam giác đó đều
(1),(2) => đpcm

Lời giải:

Theo $BĐT$ tam giác ta có:
$a< b+c$
$=> a^2< ab+ac$
$b< c+a$
$=> b^2 <bc+ba$
$c<a+b$
$=> c^2 <ca+cb$
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
$a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca) (1)$
Ta có $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≥ 0$ với mọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
$<=> a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 ≥ 0$
$<=> 2(a^2+b^2+c^2) ≥ 2(ab+bc+ca)$
$<=> ab+bc+ca ≤ a^2+b^2+c^2 (2)$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$ $<=>$ tam giác đó đều
$(1),(2) => đpcm$

ta có: \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)\(\ge\)ab+bc+ca

<=> \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)-ab-bc-ca\(\ge\)0

<=>2\(a^2\)+2\(b^2\)+2\(c^2\)-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0

<=> (\(a^2\)-2ab+\(b^2\))+(\(b^2\)-2bc+\(c^2\))+(\(c^2\)-2ca+\(a^2\))\(\ge\)0

<=> \(\left(a-b\right)^2\)+\(\left(b-c\right)^2\)+\(\left(c-a\right)^2\)\(\ge\)0 (luôn đúng)

dấu = xảy ra khi a =b=c

a&#x2212;b&lt;c&lt;=&gt;a2+b2&#x2212;2ab&lt;c2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a−b<c<=>a2+b2−2ab<c2

b&#x2212;c&lt;a&lt;=&gt;b2+c2&#x2212;2bc&lt;a2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">b−c<a<=>b2+c2−2bc<a2

a&#x2212;c&lt;b&lt;=&gt;a2+c2&#x2212;2ac&lt;b2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a−c<b<=>a2+c2−2ac<b2

2(a2+b2+c2)&#x2212;2(ab+bc+ac)&lt;a2+b2+c2&lt;=&gt;2(ab+ac+bc)&gt;a2+b2+c2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ac)<a2+b2+c2<=>2(ab+ac+bc)>a2+b2+c2 (đpcm)

Bài này khó lắm tớ mới làm có vế trái thôi

Ta có : \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\le2\left(a^2+b^2+c^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Vì BĐT cuối luôn đúng nên ta có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

Theo Bất đẳng thức tam giác ta có : 

\(a< b+c\Rightarrow a.a< a\left(b+c\right)\Leftrightarrow a^2< ab+ac\) (1)

\(b< a+c\Rightarrow b.b< b\left(a+c\right)\Leftrightarrow b^2< ab+bc\)(2)

\(c< a+b\Rightarrow c.c< c\left(a+b\right)\Leftrightarrow c^2< ac+bc\)(3)

Cộng (1) , (2) , (3) theo vế ta được : \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)

Từ đó suy ra đpcm

Nếu em lên lớp 7 thì em sẽ giúp

Nguyễn Thị Ngọc Ánh k lm thì biến đừng hòng kiếm

Mk còn thiếu vế trái nữa

 a² + b² + c² \(\le\)2 ( ab + bc + ca ) 

Vì a ; b ; c là 3 cạnh của 1 tam giác nên theo bất đẳng  thức  tam giác:

Ta có: 

a\(\le\)b +c => a . a \(\le\)a.(b + c) => a² \(\le\) ab + ac    ( 1 ) 

b \(\le\) a + c => b . b \(\le\)b ( a + c ) => b² \(\le\)ab + bc   ( 2) 

c \(\le\) a + b => c . c \(\le\) c . ( a + b ) => c² \(\le\) ac  + bc   ( 3 ) 

Cộng với các vế ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) được: 

a²+ b² + c² \(\le\) ab + ac + ab + bc + ac + bc 

Vậy a²  + b² + c² \(\le\)2.( ab + bc + ca ) 

a² + b² + c²  \(\ge\)    ab + bc + ca 

 <=> a² + b² + c² - ab - bc  - ca \(\ge\) 0 

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca \(\ge\)0 

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( c² - 2ca + a² ) \(\ge\)0 

<=> ( a - b )² + ( b - c)² + ( c - a)² \(\ge\) 0 ( Luôn đúng)

Dấu "  = " xảy ra khi a = b = c