x/x+1 = 1- 1/x+1

y/y+1 = 1- 1/y+1

z/z+1=1- 1/z+1

==) P = 3 - ( 1/x+1 + 1/y+1 + 1/x+1 )

Áp dụng Bất đẳng thức 1/a + 1/b + 1/c >= 9/a+b+c

==) P>=3 - 9/4 = 3/4

Dấu "=" xảy ra khi x,y,z \(\in\)R

                             x=y=z                   \(\)

                             x+y+z=1

==) x=y=z =1/3

Vậy MinP = 3/4 khi x=y=z=1/3

Ta có biểu thức:

\(Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\)

\(=\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{y^2+1}\right)+\left(y+1\right)\left(1-\frac{z^2}{z^2+1}\right)+\left(z+1\right)\left(1-\frac{x^2}{x^2+1}\right)\)

\(\ge\left(x+1\right)\left(1-\frac{y}{2}\right)+\left(y+1\right)\left(1-\frac{z}{2}\right)+\left(z+1\right)\left(1-\frac{x}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow Q\ge\left(x+y+z+3\right)-\frac{xy+yz+xz+x+y+z}{2}\)

\(\Leftrightarrow Q\ge6-\frac{xy+yz+xz+3}{2}\)

Mà \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\)

\(\Rightarrow Q\ge6-\frac{3+3}{2}=3\)

Vậy Min Q=3. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

bằng 3 

bang 3

Áp dụng bđt Cô-si có \(\Sigma\left(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\right)\ge\Sigma2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=\Sigma x\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{x^2}{y+1}+\Sigma\frac{y+1}{4}\ge\Sigma x\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{x^2}{y+1}\ge\frac{3\Sigma x}{4}-\frac{3}{4}\)

Theo bđt Cô-si \(\Sigma x\ge3\sqrt[3]{\Pi x}=3\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{x^2}{y+1}\ge\frac{3\Sigma x}{4}-\frac{3}{4}\ge\frac{3.3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

   Dấu "='' <=> x = y = z = 1

Ta có \(P=\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\) \(\Rightarrow P+\frac{x+y+z+3}{4}=P+\frac{X+1}{4}+\frac{Y+1}{4}+\frac{Z+1}{4}\)

= \(\left(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\right)+\left(\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\right)+\left(\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\right)\)

Do các số trong ngoặc đều dương nên áp dụng BĐT Cô - Si, ta có :

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)

Tương tự suy ra \(\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

Vậy P + \(\frac{x+y+z+3}{4}\ge x+y+z\Rightarrow P\ge\frac{3x+3y+3z-3}{4}\left(1\right)\)

Ta có x, y, z > 0 nên theo BĐT Cô - Si, ta có : \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\left(2\right)\)

Từ (1), (2); ta có P \(\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Ta có: \(xyz=1\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}=1\Leftrightarrow1\le\frac{x+y+z}{3}\)( BĐT AM-GM )

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1

Đặt \(P=\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có: (link c/m BĐT Cauchy-schwarz Xem câu hỏi )

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+x+y+z}=\frac{x+y+z}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P\ge\frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1

Vậy...

Bạn kia làm ra kết quả đúng nhưng cách làm thì tào lao nhưng vẫn ra ???

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)

Tương tự:\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\frac{3}{2}\),\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}\)

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta được:

\(P+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left(x+y+z\right)+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow P+\frac{3}{2}+\frac{6}{4}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2+x}=\frac{x}{2}=\frac{x+1}{4}\\\frac{1}{y^2+y}=\frac{y}{2}=\frac{y+1}{4}\\\frac{1}{z^2+z}=\frac{z}{2}=\frac{z+1}{4},x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)

Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có

\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+x+y+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

lớp 8 đã học bất đẳng thức Bunhiacopski rồi à

Em có cách này nhưng không chắc

Ta sẽ c/m BĐT phụ sau:\(2x+\frac{1}{x}\ge\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)^2}{2x}\le0\) (đúng) (ta chuyển hết VT sang vế phải rồi qui đồng lên)

Thiết lập hai BĐT tương tự và cộng theo vế ta tìm được Min

Nói thêm: Do x, y, z dương và \(x^2+y^2+z^2=3\Rightarrow0< x;y;z< \sqrt{3}\) (từ đây ta mới chứng minh được BĐT phụ đúng.

 Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số thực dương \(xy,yz,zx\), ta có \(xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\). Do \(xy+yz+zx=3xyz\) nên\(3xyz\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\) \(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\left(\sqrt[3]{xyz}-1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}\ge1\) \(\Leftrightarrow xyz\ge1\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=yz=zx\\xy+yz+zx=3xyz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Ta có \(\dfrac{x}{1+y^2}=\dfrac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\dfrac{xy^2}{2y}\)\(=x-\dfrac{xy}{2}\)

Tương tự, ta có \(\dfrac{y}{1+z^2}\ge y-\dfrac{yz}{2}\) và \(\dfrac{z}{1+x^2}\ge z-\dfrac{zx}{2}\). Từ đó suy ra \(\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+z^2}+\dfrac{z}{1+x^2}\ge x+y+z-\dfrac{xy+yz+zx}{2}\) \(=x+y+z-\dfrac{3}{2}xyz\) . Từ đây suy ra \(Q\ge x+y+z\ge\sqrt[3]{xyz}\ge1\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=z=1\). 

Vậy GTNN của \(Q\) là \(1\) đạt được khi \(x=y=z=1\)

 Dạ thưa thầy, chỗ kia con sửa là \(Q\ge x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\ge3\) ạ. GTNN của Q là 3 khi \(x=y=z=1\)

\(\frac{x+1}{1+y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(1+y^2\right)-y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}\)

TT...

\(\Rightarrow Q=x+y+z+3-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}-\frac{z^2\left(y+1\right)}{1+z^2}-\frac{x^2\left(1+z\right)}{1+x^2}\)

\(\ge6-\frac{y^2\left(x+1\right)}{2y}-\frac{z^2\left(y+1\right)}{2z}-\frac{x^2\left(z+1\right)}{2x}=6-\frac{xy+yz+xz+x+y+z}{2}\)

\(=6-\frac{3+xy+yz+xz}{2}\ge6-\frac{3+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}=6-\frac{3+\frac{3^2}{3}}{2}=3\)

Vậy GTNN của Q là 3 khi x = y = z = 1