Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).

Vậy ta có đpcm.

\(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6=\left(a^8-a^6b^2\right)+\left(b^8-a^2b^6\right)=a^6\left(a^2-b^2\right)+b^6\left(b^2-a^2\right)=\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\) nên suy ra được như vậy Quỳnh Anh

3) Chứng minh bằng biến đổi tương đương ; \(2\left(a^2+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+a^2b+ab^2\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(Chia cả hai vế cho a+b > 0)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh.

b) Bạn biến đổi tương tự.

3) \(a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow2a^2-2ab+2b^2\ge a^2+b^2\)

\(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(2a^2-2ab+2b^2\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2-2ab+2b^2\ge a^2+b^2\)(đúng với a,b>0)

4) \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(4a^2-4ab+4b^2\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+4b^2\ge a^2+2ab+b^2\)(do a,b>0)

\(\Leftrightarrow3x^2-6xy+3y^2\ge0\Leftrightarrow3\left(x-1\right)^2\ge0\)(đúng)

Biến đổi \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3=3a^2\left(a-b\right)-3b^2\left(a-b\right)=\left(3a^2-3b^2\right)\left(a-b\right)=3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b>0\).

Từ đó ta có \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)

Với a, b>0 các bn nha

\(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)}{9}\)

\(\ge\frac{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)}{3}=abc\left(a+b+c\right)\)

thanks bạn nha

minh cung viet nhung bai day dai lam khong danh duoc

Làm thông thường thoy; khai triển ra xog chuyển vế

\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^3+b^3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6\)

\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2\ge2a^3b^3\)

\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b\in R\))

Vậy bđt đã đc chứng minh

cảm ơn nhiều nha. chúng ta kết bạn được không?

theo bđt bu-nhi-a cốp-xki thì

(a^3+b^3)^2=(axa^2+bxb^2)^2<=(a^2+b^2)(a^4+b^4)

còn bạn chưa biết thì

<=>a^6+b^6+a^2xb^2(a^2+b^2)>=a^6+b^6+2a^3xb^3

,<=>a^2xb^4+b^2xa^4>=2a^3xb^3

<=>(axb^2-a^2xb)^2>=0(luôn đúng)

Ta có : \(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+4\ge ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+4\right)\ge2\left(ab+2a+2b\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+8\ge2ab+4a+4b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+8-2ab-4a-4b\ge0\) 

\(\Leftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+4+4-2ab-4a-4b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-4b+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=2

Nhìn vô biết ngay đề sai. Bạn kiểm tra đề lại nhé.

Nếu mấy bạn thấy chỗ sai của cái đề thì sửa lại dùm mình với và làm bài giải của bạn nhé. Cho mình xin cảm ơn nhiều!

Sửa đề: a, b > 0 (hoặc a + b > 0, cái nào cũng được)

Chứng minh: \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\) (cái vế phải là mũ 3)

---------------------------------------------------------------------------------------

Giải:

Xét hiệu hai vế: \(VT-VP=4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3\)

\(=3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì vậy \(VT\ge VP\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\). Ta có đpcm

5) \(a^4+b^4+2\ge4ab\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge-\left(2a^2b^2-4ab+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\ge-2\left(ab-1\right)^2\)(đúng)

Vậy \(a^4+b^4+2\ge4ab\)

6) \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2=\left(\frac{a+c}{2}+\frac{b+d}{2}\right)^2\ge4\cdot\frac{a+c}{2}\cdot\frac{b+d}{2}=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và các hệ quả liên quan ta được

\(a^4+1\ge2a^2\)và \(b^4+1\ge2b^2\)

\(\Rightarrow a^{^{ }4}+b^4+2\ge2\left(a^2+b^2\right)\)

Mặt khác \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow\)Đpcm

câu con lại tương tự áp dung cauchy là sẽ ra bằng cách dung hệ quả\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)