a: Xét ΔBDI vuông tại D và ΔBFI vuông tại F có

BI chung

\(\widehat{DBI}=\widehat{FBI}\)

Do đó: ΔBDI=ΔBFI

=>ID=IF

Xét ΔCFI vuông tại F và ΔCEI vuông tại E có

CI chung

\(\widehat{FCI}=\widehat{ECI}\)

Do đó: ΔCFI=ΔCEI

=>IE=IF

b: IE=IF

ID=IF

Do đó: IE=ID

Xét ΔADI vuông tại D và ΔAEI vuông tại E có

AI chung

ID=IE

Do đó: ΔADI=ΔAEI

=>\(\widehat{DAI}=\widehat{EAI}\)

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

=>AI là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Bạn ơi, câu hỏi này bạn nên hỏi trong chuyên đề Toán ý.

Xét ΔBDI vuông tại D và ΔBEI vuông tại E có

BI chung

góc DBI=góc EBI

Do đó: ΔBDI=ΔBEI

=>ID=IE

Xét ΔAEI vuông tại E và ΔAFI vuông tại F có

AI chung

góc EAI=góc FAI

Do đó: ΔAEI=ΔAFI

=>IE=IF=ID

giúp mình đi mà 

nhanh lên ko thì ko kịp nữa

a) xét ΔAIB và ΔAIC, ta có : 

AB = AC (gt)

AI là cạnh chung

IB = IC (vì I là trung điểm của đoạn thẳng BC)

⇒ ΔAIB = ΔAIC (c.c.c)

b) vì ΔAIB = ΔAIC nên ⇒ \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) (2 cạnh tương ứng)

ta có : \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=\) 180⁰ (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

⇒ AI vuông góc với BC

c) vì ΔAIB = ΔAIC nên ⇒ \(\widehat{EAI}=\widehat{FAI}\) (2 góc tương ứng)

xét ΔEAI và ΔFAI, ta có : 

\(\widehat{EAI}=\widehat{FAI}\) (cmt)

AI là cạnh chung

⇒ ΔEAI và ΔFAI (ch-gn)

⇒ EA = EF 2 cạnh tương ứng

=> EAF là tam giác cân

trong ΔEAF, ta có : \(\widehat{AEF}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\) (1)

trong ΔABC, ta có : \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\) (2)

từ (1) và (2) ⇒ \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\), mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

⇒ EF // BC

vì EF // BC, mà AI vuông góc với AB, ⇒ AH vuông góc với EF

Xét tam giác EIC và tam giác FIC có:

IC chung

\(\widehat{ECI}\) = \(\widehat{FCI}\)

\(\widehat{IEC}\) = \(\widehat{IFC}\)

Suy ra 2 tam giác này bằng nhau (1)

xét tam giác DBI và tam giác FBI có:

BI chung

góc FBI bằng góc IBD

góc BDI bằng góc IFB

Suy ra 2 tam giác này bằng nhau (2)

Xét tam giác BIF và tam giác CIF có:

IF chung

góc IFC bằng góc IFB

góc IBF bằng góc ICF

Suy ra hai tam giác này bằng nhau (3)

TỪ (1), (2), (3) TA SUY RA ĐOẠN THẲNG IE = ID = IF ( 3 cạnh tương ứng)

Xét 2 TG vuông DBI và EBI, ta có:

 DBI=IBE(BI là phân giác của góc B); BI:cạnh chung

=>TG DBI=TG EBI(cạnh huyền- góc nhọn)

=>ID=IE(2 cạnh tương ứng)

Xét 2 TG vuông EIC và FIC, ta có:

ECI=FCI(CI là phân giác góc C); CI:cạnh chung

=>TG EIC=TG FIC(cạnh huyền- góc nhọn)

=>IE=IF(2 cạnh tương ứng)

*Ta có: ID=IE(cmt); IE=IF(cmt)=>ID=IE=IF

Xét tam giác BDI và tam giác BEI có

IB(cạnh chung, hay là cạnh huyền)

gócB1=gócB2(gt)

gócD=gócE(=90độ)

suy ra tam giac BDI =tam giác BEI (cạnh huyền, góc nhọn)

suy ra cạnh ID=cạnh IE (2 cạnh tương ứng)    (1)

Xét tam giác CEI và tam giác FIC có

IC ( cạnh chung,hay là cạnh huyền)

cạnh IE= cạnh IF(=90độ)

góc C1= góc C2( gt)

suy ra tam giác CEI = tam giác FIC(cạnh huyền, góc nhọn )     (2) 

Từ đó ta suy ra ID=IE=IF(đpcm)

Từ (1) và (2) suy ra cạnh

a, Trong tam giác ABC có : góc ABC + góc ACB + góc BAC = 180 độ
=> góc ABC + góc ACB  =180 độ - góc BAC = 180 độ - 60 độ = 120 độ
Mà BD và CE lần lượt là phân giác của góc ABC ; ACB nên 
120 độ = 2.góc IBC + 2.góc ICB = 2.(góc IBC + góc ICB)
=> góc IBC + góc ICB = 120 độ : 2 = 60 độ
Trong tam giác IBC có : góc IBC + góc ICB + góc BIC = 180 độ
=> góc BIC = 180 độ - (góc IBC + góc ICB) = 180 độ - 60 độ = 120 độ

Giải:

Xét \(\Delta DIB\) có: \(\widehat{B_2}+\widehat{I_1}=90^o\) ( do \(\widehat{BDI}=90^o\) )

Xét \(\Delta FIB\) có: \(\widehat{B_1}+\widehat{I_2}=90^o\) ( do \(\widehat{IFB}=90^o\) )

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{B}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) (*)

Xét \(\Delta DIB,\Delta FIB\) có:
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{B}\right)\)

\(BI\): cạnh chung

\(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) ( theo (*) )

\(\Rightarrow\Delta DIB=\Delta FIB\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow ID=IF\) ( cạnh tương ứng ) (1)

Xét \(\Delta EIC\) có: \(\widehat{I_3}+\widehat{C_2}=90^o\) ( do \(\widehat{IEC}=90^o\) )

Xét \(\Delta FIC\) có: \(\widehat{I_4}+\widehat{C_1}=90^o\) ( do \(\widehat{IFC}=90^o\) )

Mà \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{C}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{I_3}=\widehat{I_4}\) (**)

Xét \(\Delta EIC,\Delta FIC\) có:
\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{C}\right)\)

\(IC\): cạnh chung

\(\widehat{I_3}=\widehat{I_4}\) ( theo (**) )

\(\Rightarrow\Delta EIC=\Delta FIC\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow IE=IF\) ( cạnh tương ứng )

Từ (1) và (2) suy ra \(ID=IF=IE\left(đpcm\right)\)

Vậy ID = IF = IE

Xét 2 TG vuông DBI và EBI,ta có :

DBI=EBI (BI là phân giác của góc B);BI cạnh chung

=>TG DBI=TG EBI(cạnh huyền-góc nhọn)

=>ID=IE(2 cạnh tương ứng)

Xét 2 TG vuông EIC và FIC ,ta có:

ECI=FIC(CI là phân giác góc C);CI cạnh chung

=>TG DBI=TG EBI(cạnh huyền-góc nhọn)

=>IE=IF( 2 cạnh tương ứng)

Ta có : ID=IE(cmt),IE=IF(cmt)=>ID=IE=IF

Chúc bạn học tốt