Ap dung BDT Bunhiacopxki , ta co :

( x² + y²)² = ( \(\sqrt{x^4}+\sqrt{y^4}\))² = \(\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)\)² ≤ ( x+y)( x³ + y³) = 2(x+ y)

⇔ ( x² + y²)² ≤ 2( x + y)

⇔ ( x² + y²)⁴ ≤ 4( x + y)² ≤ 4( x² + y²)( 1² + 1²) = 8( x² + y²)

⇔ ( x² + y²)⁴ ≤ 8( x² + y²)

⇔ ( x² + y²)³ ≤ 8

⇔ x² + y² ≤ 2

Dau " =" xay ra khi : x = y = 1

P/s : Mk lam thu thui nha , khong chac dau

Đời về bản là buồn... cười!!!Phùng Khánh LinhHong Ra Onchú tuổi gìNguyễn Ngô Minh TríNhã Doanh,.....

Mk can gap gap , mai thi hoc ky 2 rui nhen

Ta có:  \(\left(y^2-y\right)+2\ge0\Rightarrow2y^3\le y^4+y^2\)

\(\Rightarrow\left(x^3+y^2\right)+\left(x^2+y^3\right)\le\left(x^2+y^2\right)+\left(y^4+x^3\right)\)

Mà \(x^3+y^4\le x^2+y^3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2\left(1\right)\)

Lại có: \(x\left(x-1\right)^2\ge0;y\left(y+1\right)\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x\left(x-1\right)^2+y\left(y+1\right)\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^3-2x^2+x+y^4-y^3-y^2+y\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+y^3\right)\le\left(x+y\right)+\left(x^3+y^4\right)\)

Mà \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\left(2\right)\)

Và \(\left(x+1\right)\left(x-1\right)\ge0;\left(y-1\right)\left(y^3-1\right)\ge0\)

\(x^3-x^2-x+1+y^4-y-y^3+1\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)+\left(x^2+y^3\right)\le2+\left(x^3+y^4\right)\)

Mà \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\)

\(\Rightarrow x+y\le2\left(3\right)\)

Từ (1), (2), (3) => đpcm

Ta có \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\Leftrightarrow x^2+y^2+y^3\ge x^3+y^2+y^4\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có \(y^4+y^2\ge2y^3\)

\(\Rightarrow x^2+y^3+y^2\ge x^3+2y^3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2\left(1\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có 

\(\left(x^2+y^2\right)^2\le\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{x^3}\right)^2+\left(\sqrt{y^3}\right)^2\right]=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)

                         \(\le\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\left(2\right)\)

Lại có

\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x+y\le2\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) => đpcm

Đối với bài này ta cũng có thể chia các khoảng giá trị để chứng minh 

(Nhưng hơi dài và khó hiểu nên mình k làm ) 

Học tốt!!!!!!!!!

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^2+y^3\geq x^3+y^4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+y^3\geq x^3+y^4+y^2\geq x^3+2\sqrt{y^6}=x^3+2y^3\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\geq x^3+y^3(1)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x+y^2)(x^2+y^3)\geq (x+y^2)(x^3+y^4)\geq (x^2+y^3)^2\)

\(\Rightarrow x+y^2\geq x^2+y^3\)

\(\Rightarrow x+y+y^2\geq x^2+y^3+y\geq x^2+2\sqrt{y^4}=x^2+2y^2\) (AM-GM)

\(\Rightarrow x+y\geq x^2+y^2\) (2)

Lại áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\) . Suy ra \(x+y\geq x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\)

\(\Rightarrow 1\geq \frac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 2(3)\)

Từ $(1),(2),(3)$ suy ra \(x^3+y^3\leq x^2+y^2\leq x+y\leq 2\)

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$

\(x-y=x^3-y^3\Leftrightarrow x-y=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-1\right)=0..\) 

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=0\\x^2+xy+y^2=1\end{cases}.}\) Vì x và y dương nên xy >0  Do đó từ x² + y² + xy = 1 Suy ra :    x² + y² < 1