KHoảng cách giữa 2 đường thẳng d: 2x - y +3 =0 và d' \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=4+2t\end{matrix}\right.\)
Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left(P\right):x+y-z+2=0\) và hai đường thẳng \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=t\\z=2+2t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=3-t'\\y=1+t'\\z=1-2t'\end{matrix}\right.\). Biết rằng có hai đường thẳng có các đặc điểm: song song với \(\left(P\right)\), cắt \(d\), \(d'\) và tạo với \(d\) góc \(30^\circ\). Gọi hai đường thẳng đó là \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\), tính \(\cos\widehat{\left(\Delta_1;\Delta_2\right)}=?\)
A. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
B. \(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)
Để tính cos(Δ1;Δ2), ta cần tìm vector chỉ phương của hai đường thẳng Δ1 và Δ2.
Vector chỉ phương của đường thẳng d là (1, t, 2) và vector chỉ phương của đường thẳng d' là (-1, 1, -2).
Để tìm vector chỉ phương của mặt phẳng (P), ta lấy vector pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1, 1, -1).
Để hai đường thẳng Δ1 và Δ2 song song với mặt phẳng (P), ta có điều kiện là vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 cũng phải song song với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vì vậy, ta cần tìm vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 sao cho chúng song song với vector (1, 1, -1).
Ta có thể tìm vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 bằng cách lấy tích vector của vector chỉ phương của d hoặc d' với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Tính tích vector của (1, t, 2) và (1, 1, -1): (1, t, 2) x (1, 1, -1) = (t-3, 3t+1, -t-1)
Tính tích vector của (-1, 1, -2) và (1, 1, -1): (-1, 1, -2) x (1, 1, -1) = (-1, -3, -2)
Hai vector trên là vector chỉ phương của Δ1 và Δ2. Để tính cos(Δ1;Δ2), ta sử dụng công thức:
cos(Δ1;Δ2) = (Δ1.Δ2) / (|Δ1|.|Δ2|)
Trong đó, Δ1.Δ2 là tích vô hướng của hai vector chỉ phương, |Δ1| và |Δ2| là độ dài của hai vector chỉ phương.
Tính tích vô hướng Δ1.Δ2: (t-3)(-1) + (3t+1)(-3) + (-t-1)(-2) = -t-3
Tính độ dài của Δ1: |Δ1| = √[(t-3)² + (3t+1)² + (-t-1)²] = √[11t² + 2t + 11]
Tính độ dài của Δ2: |Δ2| = √[(-1)² + (-3)² + (-2)²] = √[14]
Vậy, cos(Δ1;Δ2) = (-t-3) / (√[11t² + 2t + 11] * √[14])
Để tính giá trị của cos(Δ1;Δ2), ta cần biết giá trị của t. Tuy nhiên, trong câu hỏi không cung cấp giá trị cụ thể của t nên không thể tính được giá trị chính xác của cos(Δ1;Δ2).
Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta:\left\{{}\begin{matrix}x=-3+2t\\y=-1+3t\\z=-1+2t\end{matrix}\right.\) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right):2x-2y+z+3=0\) ?
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d' cho bởi các phương trình sau :
a) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=-3+2t\\y=-2+3t\\z=6+4t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=5+t'\\y=-1-4t'\\z=20+t'\end{matrix}\right.\)
b) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t'\\y=-1+2t'\\z=2-2t'\end{matrix}\right.\)
a) Đường thẳng d đi qua M1( -3 ; -2 ; 6) và có vectơ chỉ phương (2 ; 3 ; 4).
Đường thẳng d' đi qua M2( 5 ; -1 ; 20) và có vectơ chỉ phương (1 ; -4 ; 1).
Ta có = (19 ; 2 ; -11) ; = (8 ; 1 ; 14)
và = (19.8 + 2 - 11.4) = 0
nên d và d' cắt nhau.
Nhận xét : Ta nhận thấy , không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:
Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có 2t = 6 => t = -3, thay vào (1) có t' = -2, từ đó d và d' có điểm chung duy nhất M(3 ; 7 ; 18). Do đó d và d' cắt nhau.
b) Ta có : (1 ; 1 ; -1) là vectơ chỉ phương của d và (2 ; 2 ; -2) là vectơ chỉ phương của d' .
Ta thấy và cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm M(1 ; 2 ; 3) ∈ d ta thấy M d' nên d và d' song song.
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau :
\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+at\\y=t\\z=-1+2t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=1-t'\\y=2+2t'\\z=3-t'\end{matrix}\right.\)
Xét hệ
Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất.
Nhân hai về của phương trình (3) với 2 rồi cộng vế với vế vào phương trình (2), ta có t = 2;
s = 0. Thay vào phương trình (1) ta có 1 + 2a = 1 => a =0.
Vậy a = 0 thì d và d' cắt nhau.
Trong mặt phẳng Oxy có △1: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=4-2t\end{matrix}\right.\)và △2 : x-3y+9=0 , điểm P(-1;3) . Đường thẳng d đi qua P và cắt △1,△2 tại A , B sao cho P là trung điểm của AB .Tính khoảng cách từ M(1;-1) đến đường thẳng d
Cho hai đường thẳng :
\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1-t\\y=2+2t\\z=3t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=1+t'\\y=3-2t'\\z=1\end{matrix}\right.\)
Chứng minh d và d' chéo nhau ?
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây :
a) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=-1-5t\\y=2+4t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=-6+5t'\\y=2-4t'\end{matrix}\right.\)
b) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1-4t\\y=2+2t\end{matrix}\right.\) và \(d':2x+4y-10=0\)
c) \(d:x+y-2=0\) và \(d'=2x+y-3=0\)
a)\(\Rightarrow d:4x+5y+14=0\)
\(d':4x+5y+14=0\)
Ta có: \(\dfrac{4}{4}=\dfrac{5}{5}=\dfrac{14}{14}\) \(\Rightarrow d\equiv d'\)
b) \(\Rightarrow d:x+2y-5=0\)
Ta có: \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{-5}{-10}\) \(\Rightarrow d\equiv d'\)
c) Ta có: \(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{1}{1}\) \(\Rightarrow d\) cắt \(d'\)
Trong không gian oxyz phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(3;0;-1) và có vecto chỉ phương a=(-1;2;3) là
A. \(\left\{{}\begin{matrix}x=3-t\\y=2t\\z=-1+3t\end{matrix}\right.\)
B. \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=2\\z=3-t\end{matrix}\right.\)
C. \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=2t\\z=-1-3t\end{matrix}\right.\)
D. \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1-3t\\y=2\\z=3+t\end{matrix}\right.\)
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d' cho bởi các phương trình sau :
a) \(d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+2}{3}\) và \(d':\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z-4}{2}\)
b) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=1+t\\z=2-t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=9+2t'\\y=8+2t'\\z=10-2t'\end{matrix}\right.\)
c) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=-t\\y=3t\\z=-1-2t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=9\\z=5t'\end{matrix}\right.\)