Với mỗi số nguyên dương n. Chứng minh rằng :
\(\left(3+\sqrt{5}\right)^n\)+\(\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)là một số nguyên dương,
Những câu hỏi liên quan
Với mỗi số nguyên dương n chứng minh \(\left(3+\sqrt{5}\right)^n+^{ }\left(3-\sqrt{5}\right)^{^{ }n}\)là số nguyên dương
Bạn tham khỏa link này nha
@Câu hỏi của Vân knth - Toán lớp 9 - Học trực tuyến OLM
#chuccauhoctot
Cậut k giúp mk nha
Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh \(\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\) là số nguyên dương
cảm ơn nhiều ^^
Đặt \(U_n=\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\) , \(a=\left(3+\sqrt{5}\right)^n\) , \(b=\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)
Ta có : \(U_n=a+b\); \(U_{n+1}=\left(3+\sqrt{5}\right)a+\left(3-\sqrt{5}\right)b\);
\(U_{n+2}=\left(3+\sqrt{5}\right)^2a+\left(3-\sqrt{5}\right)^2b=\left(14+6\sqrt{5}\right)a+\left(14-6\sqrt{5}\right)b\)
\(=6\left(3+\sqrt{5}\right)a+6\left(3-\sqrt{5}\right)b-4a-4b\)
\(=6\left[\left(3+\sqrt{5}\right)a+\left(3-\sqrt{5}\right)b\right]-4\left(a+b\right)\)
\(=6U_{n+1}-4U_n\)
Vậy ..............................................
Đúng 0
Bình luận (0)
Với mọi số nguyên dương n. Chứng minh\(\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\) là số nguyên dương
có 1 định lý luôn tồn tại A;B nguyên sao cho:
\(\left(3+\sqrt{5}\right)^n=A+B\sqrt{x};\left(3-\sqrt{5}\right)^n=A-B\sqrt{x}\text{ cộng lại suy ra đpcm}\)
Đặt \(S_k=\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)
Quy nạp theo ý anh alibaba thử :V
Với \(n=1\Rightarrow\left(3+\sqrt{5}\right)+\left(3-\sqrt{5}\right)=6\) là số nguyên
Giả sử điều đó đúng với \(\forall n=k\)
Ta sẽ chứng minh điều đó đúng với \(n=k+1\) . Thật vậy !
Dễ có: \(3+\sqrt{5}=2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2;3-\sqrt{5}=2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2\)
Đặt \(x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2};x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) ta có được \(x_1+x_2=1;x_1x_2=1\Rightarrow x_1;x_2\) là 2 nghiệm của phương trình:\(x^2-x-1=0\)
Ta có:\(S_{k+1}=2^{n+1}\cdot x_1^{n+1}+2^{n+1}\cdot x_2^{n+1}\)
\(=2^{n+1}\left(x_1^{n+1}+x_2^{n+1}\right)\)
\(=2^{n+1}\left[\left(x_1^n+x_2^n\right)\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)\right]=2^{n+1}\left(S_n-S_{n-1}\right)\)
Bằng phép quy nạp ta có đpcm
Với mọi số nguyên dương n, chứng minh \(\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)là số nguyên dương
Bạn tham khảo tại đây
https://olm.vn/hoi-dap/detail/56101917412.html
Không chắc lắm đâu nhé !
Câu hỏi của Quỳnh Hương - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Với mọi số nguyên dương n,chứng minh rằng\(S_n=\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)
\(MN\perpÂB\), AH\(\perp BD\)
ta có: MN,AH là 2 đ/cao tgiac ANB cắt tại M nên \(MB\perp AN\)
Gọi giao điểm MB,AN là K \(\Rightarrow\widehat{BKN}=90\Rightarrow\widehat{NBM}+\widehat{ANB}=90\Leftrightarrow\widehat{BNI}+\widehat{ANB}=90\Leftrightarrow\widehat{ANI}=90\)Vì BM//DI nên góc NBM=BNI( SLT)
Với mọi số nguyên dương n, chứng minh \(\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)là số nguyên dương
Đặt \(a=3-\sqrt{5}\); \(b=3+\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow S_1=a+b=6\) và \(P=ab=\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)=3^2-\left(\sqrt{5}\right)^2=9-5=4\)
Ta có: \(S_n=\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)
\(=b^n+a^n=a^n+b^n\)
\(=\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{n-2}+b^{n-2}\right)\)
\(=S_1\cdot S_{n-1}-P\cdot S_{n-2}\)
Vậy nên Sn biểu diễn được chỉ bằng S1 và P nên nó là số nguyên dương
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, p ta có :
\(\dfrac{1}{\left(1+1\right)\sqrt[p]{1}}+\dfrac{1}{\left(2+1\right)\sqrt[p]{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt[p]{n}}\) < p
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, p ta có :
\(\dfrac{1}{\left(1+1\right)\sqrt[p]{1}}+\dfrac{1}{\left(2+1\right)\sqrt[p]{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt[p]{n}}\) < p
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
Xét số hạng tổng quát ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\sqrt{n}\cdot\frac{2}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào bài tập, ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
\(=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\left(đpcm\right)\)