a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên CA^2=CH*CB

b: \(BC=\sqrt{15^2+20^2}=25\left(cm\right)\)

\(AD=\dfrac{2\cdot15\cdot20}{15+20}\cdot cos45=\dfrac{60}{7}\sqrt{2}\)(cm)

AH=15*20/25=12(cm)

\(HD=\sqrt{AD^2-AH^2}=\dfrac{12}{7}\left(cm\right)\)

c: ΔABI vuông tại A có AK là đường cao

nên BK*BI=BA^2=BH*BC

=>BK/BC=BH/BI

=>ΔBKH đồng dạng với ΔBCI

a) Xét \(\Delta BAI\)và \(\Delta BAC\)có :

AB : cạnh chung

\(\widehat{BAI}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

AC = AI ( gt )

\(\Rightarrow\Delta BAI=\Delta BAC\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ABC}\)( do 2 tam giác = nhau )

Mà \(\widehat{ABI}+\widehat{BAH}=90^0\)( tổng 3 góc = 180⁰ mà có 1 góc = 90⁰ ( do AH\(\perp\)BI ) nên tổng 2 góc còn lại = 90⁰ )

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{BAK}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{BAK}\)

=> BA là đường phân giác của \(\widehat{HBK}\)

b) Ta có tam giác vuông ABK = CBA ( ch-gn ) => AB² = BK . BC (1)

Ta có tam giác vuông ABH = IBA ( ch-gn ) => AB² = BH . BI (2)

Từ (1) và (2) => BK . BC = BH . BI => HK // IC ( theo định lí Ta-let )

c) Gọi E là giao điểm của HK và BA

Có tam giác BHK cân ( BE là đường cao, phân giác ) => BH = BK

Ta có BA là đường trung trực của HK => HA = KA

Có tam giác vuông BHN = BKM ( gn-cgv ) => HN = KM

=> HA + AN = AK + AM => AN = AM => Tam giác AMN cân tại A

a, Xét tam giác DAE và tam giác BAC có

      DAE = BAC ( đối đỉnh )

      AD = AB ( gt)

     AE= AC ( gt) 

=> tam giác DAE = tam giác BAC 

=> BC= DE

b, ta có  DAE = BAC = 90 độ ( 2 góc đối đỉnh )

 lại có BAD = CAE đối đỉnh 

=> BAD=CAE = 360 - (BaC + DAE)   tất cả trên 2 

<=> BAD= 360 -180  tâts cả trên 2 
<=> BAD = 180 trên 2

<=> BAD = 90 độ 

=> tam giác BAD vuông lại A

mà AB =AD (gt)

=> BAD vuông cân

=> DBA = BDA = 90 trên 2 = 45 độ

Chứng mình tương tự tam giác CAE vuông cân 

=>AEC=ACE= 90 trên 2 = 45 độ 

=> DBA=AEC=45 độ

mà chúng ở vị trí sole trong 

=> BD // CE

a.Xét tam giác ABC và tam giác HBA, có:

^A=^H = 90 độ

^B: chung

Vậy tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA ( g.g )

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\)

\(\Leftrightarrow AB^2=BC.HB\)

b.Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông ABC, có:

\(BC=\sqrt{15^2+20^2}=25cm\)

Ta có:\(AB^2=BC.HB\)

\(\Leftrightarrow15^2=25HB\)

\(\Leftrightarrow HB=9cm\)

\(\Rightarrow HC=25-9=16cm\)

c. Áp dụng t/c đường phân giác góc A, ta có:

\(\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{DB}{AB}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC+DB}{AC+AB}=\dfrac{25}{35}=\dfrac{5}{7}\)

\(\Rightarrow DB=\dfrac{5}{7}.15=\dfrac{75}{7}cm\)