Có vẻ như giữa (x₂p - y₂q)²ⁿ và (x₃p - y₃q)²ⁿ thiếu dấu + thì phải?

Ta có thể chứng minh như sau:

Với mọi n thuộc tập N*, ta có: k²ⁿ >= 0 với mọi k. (1)

-> (x₁p - y₁q)²ⁿ + ... + (x_mp - y_mq)²ⁿ luôn bằng 0 

-> x₁p - y₁q = 0, x₂p - y₂q = 0, ... và x_mp - y_mq = 0 (2)

Giả sử điều cần chứng minh là đúng: (x₁ + ... + xm) / (y₁ + ... + y_m) = q / p

-> p*(x₁ + ... + x_m) = q*(y₁ + ... + y_m)

-> x₁p + ... + x_mp = y₁q + ... + y_mq

-> (x₁p - y₁q) + ... (x_mp -  y_mq) = 0 (3)

Theo (2), (3) luôn đúng -> Giả sử của ta là chính xác.

sai cmnr ko nen lam theo

Đề không cho thêm gì à bạn? thththtt

a, Ta phải chứng minh  ƯCLN(2n+1 ; 2n+3)=1

đặt : ƯCLN(2n+1;2n+3)=d

Suy ra : 2n+1 chia hết cho d 

           2n+3 chia hết cho d

Nên (2n+3) - (2n+1) chia hết cho d Hay 2 chia hết cho d 

 => d thuộc Ư(2)={1;2}

loại d=2 (vì d khác 2)

=> d = 1

Vậy 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp nhau là 2 số nguyên tố cùng nhau

b, Gọi ƯCLN ( 2n+5 ; 3n+7)=p

Suy ra : 2n+5 chia hết cho p Hay 3.(2n+5)=6n+15 chia hết cho p

       3n+7 chia hết cho p Hay 2.(3n+7)=6n+14 chia hết cho p

Nên : (6n+15) - (6n+14) chia hết cho p hay 1chia hết cho p

=>p= 1 

vậỷ 2n+5 và 3n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Xét \(A-(n^2+n)^2=n^4+2n^3+2n^2+2n+1-(n^2+n)^2\)

\(=n^2+2n+1=(n+1)^2>0\) với mọi số tự nhiên $n$

\(\Rightarrow A> (n^2+n)^2\) (1)

Xét \(A-(n^2+n+1)^2=n^4+2n^3+2n^2+2n+1-(n^2+n+1)^2\)

\(=n^4+2n^3+2n^2+2n+1-(n^4+2n^3+3n^2+2n+1)\)

\(=-n^2<0\) với mọi số tự nhiên n khác 0

\(\Rightarrow A< (n^2+n+1)^2\) (2)

Từ (1); (2) suy ra \((n^2+n)^2< A< (n^2+n+1)^2\), tức là A bị kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp.

Do đó A không thể là số chính phương.

ta xét hai khả năng

1. nếu\(n⋮3\) thì \(\left(n^3+2n\right)⋮3\)

2.nếu n không chia hết cho 3 thì n có dạng \(n=3k+1\) hoặc n=3k+2

với k thuộc N

Với \(n=3k+1:\left(n^3+2n\right)=\left(3k+1\right)^3+2\left(3k+1\right)\)

\(=27k^3+27k^2+9k+1+6k+2=3\left(9k^3+9k^2+5k+1\right)⋮3\)

Với \(n=3k+2⋮\left(n^3+2n\right)=\left(3k+2\right)^3+2\left(3k+2\right)\)

\(=27k^3+54k^2+36k+8+6k+4=3\left(9k^3+18k^2+14k+4\right)⋮3\)

mệnh đề được chứng minh

Ta có: \(\dfrac{3n-5}{3-2n}\)

Gọi \(ƯCLN\left(3n-5;3-2n\right)=d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n-5⋮d\\3-2n⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n-10⋮d\\9-6n⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)\)

\(\Rightarrow d\in\left\{\pm1\right\}\)

Vậy với mọi \(n\in N\) thì \(\dfrac{3n-5}{3-2n}\) là phân số tối giản

a, Ta có:

\(3^{2n+1}+2^{n+2}=9^n.3+2^n.4\)

\(=9^n.3-2^n.3+2^n.7=3\left(9^n-2^n\right)+2^n.7\)

Ta lại có:

\(9^n-2^n⋮9-2=7;2n.7⋮7\)

\(\Rightarrow3^{2n+1}+2^{n+2}⋮7\left(dpcm\right)\)